Математика примеры решения задач Линейные дифференциальные уравнения

Базовый курс по электротехнике
Элементы электрических цепей
Топология электрических цепей
Переменный ток
Элементы цепи синусоидального тока
Методы контурных токов и узловых потенциалов
Основы матричных методов
Мощность в электрических цепях
Резонансные явления
Векторные и топографические диаграммы
Анализ цепей с индуктивно связанными элементами
Метод эквивалентного генератора
Графические методы расчета
Пассивные четырехполюсники
Электрические фильтры
Трехфазные электрические цепи
Расчет трехфазных цепей

Мощность в трехфазных цепях.

Курс лекций и практических занатий по черчению
Выполните сопряжение тупого, прямого и острого углов
Основные способы проецирования
Технический рисунок
Контур детали с элементами сопряжения
Построение лекальных кривых
Построение аксонометрических проекций
Геометрические построения
Материаловедение
Механические испытания материалов
Испытания на твердость
Измерение ударной вязкости
Кристаллическое строение металлов
Кристаллизация
Основы теории сплавов
Металлы
Полупроводники
Электропроводность твёрдых диэлектриков
Диэлектрическая проницаемость и диэлектрические потери диэлектриков
Электрическая прочность жидких и газообразных диэлектриков
Пробой твёрдых диэлектриков
Исследование магнитных материалов
Математика
Примеры задач по математике
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Функции
Понятие дифференциала функции
Сходимость ряда
Теория вероятности и математической статистики
Дифференциальные уравнения
Вычислить предел функции
История искусства
Французский стиль в русской архитектуре
Классицизм
Романский стиль
Искусство барокко
Каролингское Возрождение
Города и замки Германии
Готика Франции
Петербург
Античность
Из истории художественной росписи тканей
Декоративное искусство Японии
Перевод рисунка на ткань
 

Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) называется уравнение вида,

Решить ДУ .

Пространство  имеет размерность , его "базис" состоит из  линейно независимых элементов из .

Теорема о необходимом условии линейной зависимости произвольной системы функций

Поскольку понятия линейной зависимости и независимости системы решений ОЛДУ  отрицают друг друга, то теперь можно сформулировать критерий линейной независимости системы решений ,  ОЛДУ.

Найти ФСР ОЛДУ . Записать общее решение. По НУ:   выделить частное решение.

Итак, для нахождения общего решения НЛДУ нужно

Решить 

СДУ имеет нормальную форму записи, если удается записать ее уравнения в виде, разрешенном относительно первых производных неизвестных функций

Геометрическая интерпритация СДУ в нормальной форме и ее решений

Пространство переменных  СДУ в нормальной форме называется фазовым пространством системы. Его структура может быть различной

  Задача КОШИ для СДУ в нормальной форме При рассмотрении прикладной задачи, требующей решения СДУ, как правило, интересует единственное решение. Поэтому нужно уметь выделять из бесконечного множества решений СДУ требуемое решение.

Является ли двухпараметрическое семейство функций ,  общим решением СДУ  

Сведение СДУ к одному ДУ

Свести СДУ  к одному ДУ. Решить ДУ. Записать СДУ и решение СДУ в векторной и векторно-матричной формах.

Метод интегрируемых комбинаций  – СДУ второго порядка сводится к ДУ , откуда   и из первого уравнения , т.е.  – общее решение СДУ.

СДУ в нормальной форме  может быть представлена в виде , симметричном относительно переменных. Так, например, симметричная форма записи СДУ

Достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для СДУ вида

Свойства решений СОЛДУ

Рассмотрим вектор-функции  и . При каждом   и  линейно зависимы, но ни одна из этих вектор-функций не получается из другой умножением на число, т.е. на  эти функции линейно независимые.

Теорема о структуре общего решения СОЛДУ

Некоторые свойства матриц ФСР СОЛДУ

Общее решение СОЛДУ  запишется , где  – произвольный вектор, . При этом задача Коши  имеет единственное решение , поскольку из соотношения  имеем .

Пример Решить СДУ 

Метод Эйлера

Решить СОЛДУ .

Решить СОЛДУ  .

Материаловедение