Решение задач по математике

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Понятие матрицы. Ее виды и элементы.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.

В дальнейшем для записи матриц будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки:

  или 

Для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква (например, A), либо символ || a ij || , а иногда с разъяснением: А = || a ij || = ( a ij ), где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n).

Числа a ij , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a ij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца. В случае квадратной матрицы

  (1.1)

вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ а11 а12 … ann идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называ­ется диагональ аn1 а(n-1)2 … a1n , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Транспонирование матрицы. Свойства транспонирования.

Свойства определителей. Свойство № 1: Определитель матрицы не изменится, если его строки заменить столбцами, причем каждую строку столбцом с тем же номером, и наоборот ( Транспонирование).

Определители второго и третьего ранга. В приложениях часто встречаются определители второго и третьего порядков.

Теорема о разложении: Определитель равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда (строки или столбца) его на их алгебраические дополнения.

Правило Лапласа.Теорема Лапласа.

Алгоритм вычисления обратной матрицы.Находим определитель матрицы, т.е.. Находим транспонированную матрицу, т.е..

Решение систем линейных уравнений методом Крамера. Коэффициенты и свободные члены СЛАУ запишем в виде матриц и назовем их: A - матрица системы, а A1 - расширенная матрица системы.

Метод Гаусса. Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными.

Матричный метод. Запишем систему (1) в матричном виде:AX=B, где.

Если вектор т коллинеарен одному из векторов а и b (например, вектору а), то для некоторого числа х имеем т =  х • а  = х • а  + 0 • b.

Основная задача межотраслевого баланса. Одна из основных задач межотраслевого баланса - найти при заданной структурной матрице А экономической системы в условиях баланса совокупный выпуск X, необходимый для удовлетворения заданного спроса Y.

Размерность и базис векторного пространства. Векторное пространство  называется n-мерным, если в нем можно найти n линейно независимых векторов, но больше, чем n линейно независимых векторов оно не содержит.

Переход к новому базису. Пусть в пространстве  имеется два базиса:  и .

Линейные операторы. Определение 1. Линейным оператором в линейном n- мерном пространстве Rn называется всякое отображение A: Rn Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторыRn пространства Rn в себя, обладающее свойствами:

Квадратичные формы.Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1 и х2 Ф(х1, х2) = а11  ,

Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Точка пересечения прямых. A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0.

Окружность и эллипс.Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки.

Гипербола и парабола. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть одна и та же постоянная величина.

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой.

Частные случаи общего уравнения плоскости:1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;

Дисциплина "Теория функций комплексной переменной" Поле комплексных чисел и операции в нём. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Топология поля комплексных чисел. Глобальные свойства непрерывных функций. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Основные элементарные функции. Дробно - линейные отображения. Конформные отображения. Интеграл от функции комплексного переменного. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши. Теорема Лиувилля о целых функциях. Принцип максимума модуля, теорема о среднем. Аналитичность дифференцируемой функции. Ряд Лорана. Аналитичность суммы ряда Лорана в кольце сходимости. Основная теорема о вычетах. Применение теоремы о вычетах к вычислению интегралов. Составитель: доц. А.В. Субботин(МГУ им. М.В. Ломоносова) Дисциплина "Теория вероятностей" Теория вероятностей как математическая наука, изучающая математические модели реальных случайных явлений. Статистическая устойчивость частот. Применение вероятностно- статистических методов в химии. Вероятностное пространство. Правила действий со случайными событиями. Аксиоматика А.Н.Колмогорова: Условные вероятности и независимость событий. Последовательность независимых испытаний. Предельные теоремы для схемы Бернулли. Случайные величины. Функция распределения. Распределение вероятностей. Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины. Плотность распределения. Совместные распределения случайных величин. Независимость случайных величин. Функции от случайных величин, распределения вероятностей, наиболее распространенные в практике вероятностно-статистических исследований в химии. Таблицы распределений. Числовые характеристики случайных величин. Закон больших чисел и центральная предельная теорема.

На главную