Решение задач по математике

Теорема 2. Если  - линейно независимые векторы пространства  и любой вектор  линейно выражается через , то эти векторы образуют базис в .

Доказательство. Векторы , по условию, линейно независимы. Покажем, что в пространстве  нет более чем n линейно независимых векторов. Выберем произвольные  векторов из : . По условию, каждый из них можно линейно выразить через :

Рассмотрим матрицу:

.

Так как число строк этой матрицы равно n, то ее ранг не больше, чем n, и значит, среди ее столбцов имеется не более, чем n линейно независимых. Но так как m>n, то m столбцов этой матрицы линейно зависимы. Следовательно, линейно зависимы и векторы . Итак, пространство  n – мерно и  - его базис.

Переход к новому базису.

Пусть в пространстве  имеется два базиса:  и .

Первый условимся называть старым базисом, второй – новым. Каждый из векторов нового базиса, по Теореме 5.1, можно линейно выразить через векторы старого базиса:

(5.1)

Новые базисные векторы получаются из старых с помощью матрицы

При этом коэффициенты их разложений по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрицы. Матрица  называется матрицей перехода от базиса  к базису .

Определитель матрицы  не равен нулю, так как в противном случае ее столбцы, а следовательно и векторы , были бы линейно зависимы.

Обратно, если , то столбцы матрицы линейно независимы, и следовательно векторы , получающиеся из базисных векторов  с помощью матрицы , линейно независимы и значит образуют некоторый базис. Таким образом, матрицей перехода может служить любая квадратная матрица порядка n с отличным от нуля определителем.

Рассмотрим теперь, как связаны между собой координаты одного и того же вектора в старом и новом базисах. Пусть  в старом базисе и  - в новом. Подставляя в последнее равенство вместо  их выражение из (5.1), получим, что

        Таким образом, старые координаты вектора  получатся из новых его координат с помощью той же матрицы , только коэффициенты соответствующих разложений образуют строки этой матрицы.


На главную