Решение задач по математике

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;

2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy;

3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz;

4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy;

5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz;

6) Ax + D = 0 - параллельна оси Oyz;

7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат;

8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox;

9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy;

10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz;

11) z = 0 - плоскость Oxy;

12) y = 0 - плоскость Oxz;

13) x = 0 - плоскость Oyz.

Прямая в пространстве.

Пусть прямая задана в виде \frac{x-a}{m}=\frac{y-b}{n}=\frac{z-c}{p}, причем \pi=\left(m,n,p\right)- единичный вектор, т.е. m,n,p - направляющие косинусы.

\ss \frac{x-a}{\cos\alpha}=\frac{z-c}{\cos\gamma}% \frac{y-b}{\cos\beta}=\frac{z-c}{\cos\gamma}\se. Разрешим эту систему относительно x и y: \ss x=z\frac{\cos\alpha}{\cos\gamma}+\left(a-c\frac{\cos\alpha}{\cos\gamma}\right)% y=z\frac{\cos\beta}{\cos\gamma}+\left(b-c\frac{\cos\beta}{\cos\gamma}\right)\se, или \ss x=k_1z+b_1% y=k_2z+b_2\se- уравнение прямой в проекциях. Заметим, что \left(b_1,b_2,0\right)- точка пересечения этой прямой с плоскость xOy.

Пусть даны 2 прямые \frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{p_1}, \frac{x-x_2}{m_2}=\frac{y-y_2}{n_2}=\frac{z-z_2}{p_2}. Угол между ними равен углу между их направляющими векторами, т.е. его косинус равен \cos\varphi=\pm\frac{\left(\pi_1\cdot\pi_2\right)}{|\pi_1|\cdot|\pi_2|}=\pm\frac{m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}. Если m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2=0, то прямые перпендикулярны. Если \frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2}, то прямые параллельны.

Пусть заданы прямая \frac{x-a}{m}=\frac{y-b}{n}=\frac{z-c}{p}и плоскость Ax+By+Cz+D=0. Тогда синус угла между прямой и плоскостью равен \sin\varphi=\pm\frac{Am+Bn+Cp}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}. Условие параллельности: Am+Bn+Cp=0, перпендикулярности: \frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}.


На главную