Решение задач по математике

Функции

Понятие множества и их виды

Определение. Множеством М называется объединение в единое целое определенных различимых однотипных объектов а, которые называются элементами множества.

а Π М

Множество можно описать, указав какое-то свойство, присущее всем элементам этого множества.

Множество, все элементы которого являются числами, называется числовым. В дальнейшем мы будем, прежде всего, рассматривать именно такие множества. Множество, элементами которого являются другие множества, называется классом или семейством.

Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. При подсчёте количества элементов учитываются только различные (неповторяющиеся) элементы.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается символом Æ.

Множество может быть задано перечислением (списком) своих элементов, порождающей процедурой или описанием характеристических свойств (предикатом), которым должны обладать его элементы. Причём в последнем случае необходимо формулировать описание характеристических свойств элементов множества достаточно корректно, для того, чтобы множество было определено вполне однозначно. Добавим, что многие числовые множества могут быть заданы всеми тремя указанными способами (например, множество чётных однозначных чисел).

Способы задания функций. 1. аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы).

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул.

Понятие обратной и сложной функции. Взаимно обратные функции.

Классификация элементарных функций. Функции:  - степенная;

Числовая последовательность и ее предел Числовая последовательность – функция вида y = f(x), x О N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, yn,….

Непрерывность функции. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то ее называют непрерывной на промежутке I (промежуток I называют промежутком непрерывности функции f).

Свойства функций непрерывных на отрезках. Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств.

Задача о касательной. Пусть дана функция у = f(x), график которой изображен на рис. 111, и точка А(х0, у0) на этом графике. Возьмем на кривой справа от точки A(х0, у0) точку В и проведем через эти точки прямую, которую назовем правой секущей.

Теорема. Всякая выпуклая (вогнутая) кривая имеет в каждой точке правую и левую касательные.

Экономический смысл производной. Издержки производства y будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции x.

Схема вычисления производной. Вычисление производной функции  у=f(x)  производится по следующей схеме: Находим приращение функции на отрезке :

Сложная функция. Правила дифференцирования функции.

Производная степенной функции. Если f(x) = xp, где p - действительное число, то Если показатель степени является отрицательным числом, т.е. f(x) = x−p, то .

Применение дифференциального исчисления к исследованию экономических объектов и процессов на основе анализа этих предельных величин получило название предельного анализа.

Теорема Ферма. Теорема (Ферма). Пусть р – простое число, р не делит a . Тогда: a p-1 є 1(mod p) .Доказательство 1. Положим в условии теоремы Эйлера m=p , тогда j (m)=p-1 (см. пункт 14) . Получаем a p-1 є 1(mod p) .

Возрастание и убывание функций. Возрастание и убывание функции, функция y = f (x) называется возрастающей на отрезке [a, b], если для любой пары точек х и х', а £ х < х' £ b выполняется неравенство f (x) £ f (x'), и строго возрастающей — если выполняется неравенство f (x) < f.

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале 1. Чтобы исследовать функцию на наибольшее (наименьшее) значение на интервале , надо исследовать ее, если это возможно, на отрезке .

Точка перегиба. Обычно кривая расположена около точки касания по одну и ту же сторону от касательной.

Мощностью конечного множества М называется количество его элементов. Обозначается . Если , то множества А и В называются равномощными.

Определение. Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что множество А включается (содержится) в множестве В.

 А

 В

А Ì В

Определение. Если А Í В, то множество А называется подмножеством множества В (также говорят, что В покрывает А). Если при этом А ¹ В, то множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается А Ì В.


На главную