Решение задач по математике

Пример. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, наудачу выбирается с возвращением 5 раз подряд один шар. Подсчитать вероятность того, что 4 раза появится белый шар.

В приведенных выше обозначениях n=8; p=1/4; q=3/4; x=5. Искомую вероятность вычисляем по формуле Бернулли:

 

По формуле Бернулли можно подсчитать вероятности всех возможных частот:  x=0,1,2,3,4,5.

Заметим, что если в этой задаче считать, что белых шаров было 20000, а черных 60000, то очевидно p и q останутся неизменными. Однако в этой ситуации можно пренебречь возвращением извлеченного шара после каждой выборки (при не слишком больших значениях x) и считать вероятности всех частот: x=0,1,2,... по формуле Бернулли.

Формула Бернулли при заданных числах p и n позволяет рассчитывать вероятность любой частоты x (0 £ x £ n). Возникает естественный вопрос, какой частоте будет соответствовать наибольшая вероятность?

Предположим, что такая частота существует, и попытаемся ее определить из условия, что вероятность этой частоты не меньше вероятности "предыдущей" и "последующей" частот:

 Pn(x) ³ Pn (x–1); Pn(x) ³ Pn (x+1) (*)

Первое неравенство (*) представляется в виде: Угол между прямыми в пространстве. Курс лекций по математике

 ,

что эквивалентно  или . Отсюда следует:

 

Решая второе неравенство (1), получим

 

Таким образом, частота, имеющая наибольшую вероятность (наивероятнейшая частота), определяется двойным неравенством

 

Если np+p – целое число (тогда и np–q – целое число), то две частоты: x=np–q и x= np+ p обладают наибольшей вероятностью.

Случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Случайная величина

При рассмотрении случайных событий иногда мы сталкивались с событиями, со­стоящими в появлении того или иного числа. Например, при бросании игральной кости (кубика) могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значе­ние, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.


На главную