Решение задач по математике

Алгоритм вычисления обратной матрицы.

Находим определитель матрицы, т.е..

Находим транспонированную матрицу, т.е..

Находим присоединенную матрицу, т.е  (матрица, состоящая из алгебраических дополнений к элементам транспонированной матрицы).

Вычисляем обратную матрицу по формуле .

Проверяем правильность вычисления, исходя из определения обратной матрицы.


Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы.

Рангом r(A) матрицы A называется самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Если ранг матрицы A равен r, то это означает, что в матрице A имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r равен нулю. Имеет место

Теорема о ранге матрицы: Ранг r матрицы A равен максимальному числу линейно независимых столбцов (строк). Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен

Лемма. Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов в этой матрице.

Если каждый элемент матрицы равен нулю, то ранг такой матрицы, по определению, считают равным нулю. Если r(A)=r(B), то матрицы A и B называются эквивалентными. В этом случае пишется: A ~B.

 Ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований.

Под элементарными преобразованиями понимается:

А) замена строк столбцами, а столбцов - соответствующими строками;

Б) перестановка строк (столбцов) матрицы;

В) вычеркивание ряда (строки или столбца), все элементы которого равны нулю;

Г) умножение какого-либо ряда (строки или столбца) на число, отличное от нуля

Д) прибавление к элементам одного ряда соответствующих элементов другого параллельного ряда.

Эквивалентные преобразования не меняют ранга матрицы; переходя от матрицы A к матрице A1 и т.д., с помощью эквивалентных преобразований, мы получаем, вообще говоря, разные матрицы, но эти матрицы имеют один и тот же ранг. Действительно, сравнивая эквивалентные преобразования матрицы со свойствами определителя видим, что определитель, не равный нулю, и в ходе эквивалентных преобразований остается отличным от нуля.

Если матрица n -го порядка имеет вид верхней треугольной матрицы, то её определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Это свойство используется при вычислении ранга матрицы: необходимо привести матрицу к верхней треугольной и тогда, выделив соответствующий определитель, найдем, что ранг матрицы равен числу элементов главной диагонали, отличных от нуля (или порядку найденного максимального минора M≠0).


На главную