Примеры задач по математике Основные методы интегрирования Использование интегралов в экономических расчетах Определенный интеграл Геометрические приложения определенного интеграла Обыкновенные дифференциальные уравнения

Производные элементарных функций Определенные интегралы в физике Исследовать систему уравнений Предел последовательности и функции Применение пределов в экономических расчетах Предельный анализв экономике Первообразная

Примеры задач по математике. Разделы - предел, дифференцирование, интегрирование

Использование интегралов в экономических расчетах

Пример. Пусть сила роста описывается некоторой непрерывной функцией времени d t = f(t), тогда наращенная сумма находится как S = P ex d t dt , а современная величина платежа P = S ex (- d t dt).

Если, в ча c тности, d t является линейной функцией времени:
d t = d o + at, где d o - величина силы роста для t = 0, a - годовой прирост, то

d t dt = ( d o + at)dt = d o n + an 2 /2;

множитель наращения ex ( d o n + an 2 /2). Если сила роста изменяется по геометрической прогрессии d t = d o a t, где d o - начальное значение процентной ставки, a - годовой коэффициент роста, тогда

d t dt = d o a t dt = d o a t /lna = d o (a n -1)/lna;

множитель наращения ex ( d o (a n -1) / lna).

Предположим, что начальный уровень силы роста равен 8%, процентная ставка ежегодно увеличивается на 20% (a=1,2), срок ссуды 5 лет. Множитель наращения в этом случае составит ex (0,08 (1,2 5 -1) / ln1,2) »
» exр 0,653953 » 1,921397.

Пример. Выше при анализе непрерывных потоков платежей предполагалось, что годовая сумма ренты R равномерно распределяется на протяжении года. На практике, особенно в инвестиционных процессах, этот поток может существенно изменяться во времени, следуя какому-либо закону. Если этот поток непрерывен и описывается некоторой функцией
R t = f (t), то общая сумма поступлений за время n равна .

В этом случае наращенная по непрерывной ставке за период от 0 до n сумма составит:

S = .

Современная величина такого потока равна

A = .

Пусть функция потока платежей является линейной: R t = R o + at, где
R o - начальная величина платежа, выплачиваемого за единицу времени, в которой измеряется срок ренты. Вычислим современную величину A, пользуясь правилами интегрирования определенного интеграла:

A = = + .

Обозначим A 1 = , A 2 = .

Имеем : A 1 = = - R o / d ê = - R o / d ( -e o ) = - R o / d ( -1) =
= R o ( -1)/ d . A 2 = . Вычислим неопределенный интеграл
по частям: u = t, dv = dt Þ du = dt, v = = - / d , тогда = - t / d + 1/ d = - t / d (t+1/ d ) +C. Следовательно,
A 2 = -a t / d (t+1/ d ) ê = ((1- )/ d - n )a/ d .

Итак, исходный интеграл

A = A 1 + A 2 = R o ( -1)/ d + ((1- )/ d - n )a/ d .


Предельный анализв экономике