Примеры задач по математике Основные методы интегрирования Использование интегралов в экономических расчетах Определенный интеграл Геометрические приложения определенного интеграла Обыкновенные дифференциальные уравнения

Производные элементарных функций Определенные интегралы в физике Исследовать систему уравнений Предел последовательности и функции Применение пределов в экономических расчетах Предельный анализв экономике Первообразная

Примеры задач по математике. Разделы - предел, дифференцирование, интегрирование

Исследование функций при помощи производных

Возрастание и убывание функции

Для того, чтобы дифференцируемая на интервале ( a ; b ) функция f была неубывающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие для любого

Аналогичным образом определяется необходимое и достаточное условие невозрастания функции f :

Эти теоремы являются важными теоремами математического анализа. Повторные интегралы Области интегрирования I и II типа

Экстремумы

Напомним, что в точке x 0 функция достигает экстремума, если для любых x из некоторой окрестности точки x 0 выполняется неравенство f ( x )≤ f ( x 0 ) (минимум) или f ( x )≥ f ( x 0 ) (максимум).

Теорема Ферма. Если функция f ( x ) дифференцируема в точке x 0 и достигает в ней экстремума, то

График 3.2.2.1.

Теорема Ферма: касательная к графику функции в точке экстремума параллельна оси абсцисс.

Необходимое условие экстремума. Во всех точках экстремума производная функции не существует или равна нулю.

Обратное, вообще говоря, неверно. Так, точка x =0 функции y = x 3 не является ни максимумом, ни минимумом.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками . Таким образом, все экстремумы являются критическими точками

Теорема Лагранжа. Это соотношение называется формулой конечных приращений Лагранжа. Воспользовавшись ей, легко доказать, что если производная функции на отрезке [ a ; b ] равна 0, то эта функция постоянна на этом отрезке. Если производная функции f на отрезке [ a ; b ] равна k , то f – линейная функция.

Достаточные условия экстремума. Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки x 0, кроме, быть может, самой этой точки, и непрерывна в точке x 0. Если производная функции меняет знак с минуса на плюс при переходе через эту точку слева направо, то x 0 – точка минимума. Если производная функции меняет знак с плюса на минус при переходе через эту точку слева направо, то x 0 – точка максимума.

Выпуклость функции и точки перегиба

Достаточные условия наличия точки перегиба


Предельный анализв экономике