Примеры задач по математике Основные методы интегрирования Использование интегралов в экономических расчетах Определенный интеграл Геометрические приложения определенного интеграла Обыкновенные дифференциальные уравнения

Производные элементарных функций Определенные интегралы в физике Исследовать систему уравнений Предел последовательности и функции Применение пределов в экономических расчетах Предельный анализв экономике Первообразная

Примеры задач по математике. Разделы - предел, дифференцирование, интегрирование

Первообразная

Зная закон движения тела, можно, продифференцировав функцию перемещения тела по времени, в любой момент найти его скорость. Часто требуется решить обратную задачу, то есть найти перемещение тела, зная, как изменяется его скорость. Эта и подобные задачи решаются при помощи интегрирования – операции, обратной дифференцированию.

Функция F , заданная на некотором промежутке D , называется первообразной функции f , заданной на том же промежутке, если для любого

Так, функция является первообразной функции в чем можно убедиться, поставив эти функции в определение первообразной. Функция также является первообразной функции

Если функция F является первообразной функции f , то все функции вида F + C , где C – константа, и только они являются первообразными функции f .

Таким образом, для любой функции ее первообразная F определяется неоднозначно. Для того, чтобы задать ее однозначно, нужно указать точку A ( x 0 ; y 0 ), удовлетворяющую уравнению y = F ( x ).

Модель 3.8. Дифференцирование и интегрирование функций.

Первообразные основных элементарных функций приведены в таблице.

Функция f ( x ) Первообразная F ( x )0 C a xa + C x α,α≠–1 ln| x |+ C a x sin x –cos x + C cos x sin x + C tg x + C –ctg x + C arcsin x + C arctg x + C Таблица 3.3.1.1.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k 2 - 1 = 0, корни которого k 1 = 1, k 2 = -1 действительны и различны.

Разностные уравнения На практике простейшие разностные уравнения возникают при исследовании например величины банковского вклада. Эта величина является переменной Y x , представляющей сумму, которая накапливается по установленному закону при целочисленных значениях аргумента x . Пусть сумма Y o положена в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть начисление процентов производится один раз в год и x обозначает число лет с момента помещения вклада ( x = 0, 1, 2,...). Обозначим величину вклада по истечении x лет через Y x .

Обыкновенным разностным уравнением называется уравнение, связывающее значения одного независимого аргумента x , его функции Y x и разностей различных порядков этой функции D Y x , D 2 Y x, D 3 Y x,.... Такое уравнение можно записать в общем виде следующим образом:j ( x , Y x , D Y x , D 2 Y x D 3 Y x, D n Y x ) = 0, (10.1)

Производная функции y = f ( x ) может также обозначаться одним из следующих способов:

В физике производную по времени t часто обозначают точкой:


    Предельный анализв экономике