Примеры задач по математике Основные методы интегрирования Использование интегралов в экономических расчетах Определенный интеграл Геометрические приложения определенного интеграла Обыкновенные дифференциальные уравнения

Производные элементарных функций Определенные интегралы в физике Исследовать систему уравнений Предел последовательности и функции Применение пределов в экономических расчетах Предельный анализв экономике Первообразная

Примеры задач по математике. Разделы - предел, дифференцирование, интегрирование

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Уравнения первого порядка

Функциональное уравнение F(x,y,y ) = 0 или y = f(x,y), связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию y(x) и ее производную y (x), называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Решением уравнения первого порядка называется всякая функция y= (x), которая, будучи подставлена в уравнение вместе со своей производной y = (x), обращает его в тождество относительно x.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая функция y = (x,c), которая при любом значении параметра с является решением этого дифференциального уравнения. Уравнение Ф(x,y,c) =0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Уравнения с разделяющимися переменными

Пусть в уравнении функция может быть разложена на множители и или уравнение уже имеет вид:

.

Путем деления на и на эти уравнения приводятся соответственно к виду:

.

Интегрируя левую часть соответствующего уравнения по x, а правую – по y, приходим к общему интегралу исходного уравнения.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Разделим переменные:

.

Интегрируем: , откуда имеем .

Однородные уравнения

Линейные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли

Дифференциальное уравнение второго порядка

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение

Общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, то есть уравнения вида y +py +qy = f(x), где p и q – постоянные, а f(x) 0, записывается в виде , где – общее решение соответствующего однородного уравнения, а – какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

Найти частное решение уравнения , если .

 


    Предельный анализв экономике