Примеры задач по математике Основные методы интегрирования Использование интегралов в экономических расчетах Определенный интеграл Геометрические приложения определенного интеграла Обыкновенные дифференциальные уравнения

Производные элементарных функций Определенные интегралы в физике Исследовать систему уравнений Предел последовательности и функции Применение пределов в экономических расчетах Предельный анализв экономике Первообразная

Примеры задач по математике. Разделы - предел, дифференцирование, интегрирование

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, то есть уравнения вида

 y +py +qy = f(x), (2)

где p и q – постоянные, а f(x) 0, записывается в виде , где – общее решение соответствующего однородного уравнения, а – какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

Укажем способ, позволяющий найти частное решение уравнения (2) по виду правой части.

1. Если , то при условии, что корни характеристического уравнения не совпадают с числом , то есть ; , если и при .

В этих формулах – многочлен с неопределенными коэффициентами той же степени, что и многочлен , стоящий в правой части уравнения.

2. Если , то

при

при

при

3. Если , где , то

при

при ,

где A и B – неопределенные коэффициенты.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Составим характеристическое уравнение:

.

 Корни этого уравнения действительны и различны, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид .

Составим частное решение неоднородного уравнения по виду правой части: . Среди корней характеристического уравнения нет равных числу m =2. Поэтому ищем в виде: , где А – неопределенный коэффициент, который находим, подставляя в исходное уравнение. Найдем и подставим в уравнение. Имеем .

Далее имеем 12А=3 и А= , так что . Окончательно .


    Предельный анализв экономике