Примеры задач по математике Основные методы интегрирования Использование интегралов в экономических расчетах Определенный интеграл Геометрические приложения определенного интеграла Обыкновенные дифференциальные уравнения

Производные элементарных функций Определенные интегралы в физике Исследовать систему уравнений Предел последовательности и функции Применение пределов в экономических расчетах Предельный анализв экономике Первообразная

Примеры задач по математике. Разделы - предел, дифференцирование, интегрирование

Элементы операционного исчисления

Преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа, или изображением функции f(t), t R, называется функция F(p) комплексной переменной p, определяемая следующим равенством: . (3)

Если функция f(t) удовлетворяет следующим условиям:

1) при t < 0;

2) существуют такие постоянные и М, что

при t 0;

3) на любом конечном отрезке функция f(t) имеет не более, чем конечное число точек разрыва первого рода, то функция f(t) называется оригиналом, а стоящий в правой части равенства (3) интеграл Лапласа сходится абсолютно во всей полуплоскости .

Соответствие между оригиналом и изображением символически обозначается .

Отметим некоторые свойства изображений и оригиналов.

Теорема подобия. Если изображение функции равно , то изображение функции равно .

Линейность изображения. Изображение суммы нескольких функций, умноженных на постоянные, равняется сумме изображений этих функций, умноженных на соответствующие постоянные.

Дифференцирование изображения. Если F(p) является изображением функции f(t), то является изображением функции , то есть умножению оригинала на t соответствует умножение изображения на –1 и дифференцирование его по p.

Теорема смещения. Умножению оригинала на соответствует запаздывание изображения на , то есть или .

Изображение производных. Если являются функциями-оригиналами и f(t) F(p), то

Таблица оригиналов и изображений

Найти оригинал изображения .

Решить дифференциальное уравнение


    Предельный анализв экономике