http://tri-group.ru/news/termobele-dlya-turizma-trusyi-i-drugie-aksessuaryi/

Примеры задач по математике Основные методы интегрирования Использование интегралов в экономических расчетах Определенный интеграл Геометрические приложения определенного интеграла Обыкновенные дифференциальные уравнения

Производные элементарных функций Определенные интегралы в физике Исследовать систему уравнений Предел последовательности и функции Применение пределов в экономических расчетах Предельный анализв экономике Первообразная

Примеры задач по математике. Разделы - предел, дифференцирование, интегрирование

Кратные и криволинейные интегралы

Двойной интеграл в декартовых координатах

Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D плоскости OXY. Разобьем область D произвольным образом на элементарные ячейки , в каждой из которых зафиксируем точку . Составим сумму , называемую интегральной, которая соответствует данному разбиению D на части и данному выбору точек .

Если существует предел последовательности интегральных сумм при – диаметры ячеек ) и этот предел не зависит ни от способа разбиения области D на элементарные ячейки, ни от выбора точек , то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D и обозначается .

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двукратных (повторных) интегралов. Пусть область D ограничена кривыми , причем , а функции непрерывны на отрезке (рис.1).

Прямая, параллельная оси OY, пересекает границу области D не более чем в двух точках. Такую область D называют простой и правильной в направлении оси OY. Тoгда

,

Рис. 1

причем сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной Y, а полученный интеграл интегрируется по X.

Если на отрезке [a,b] верхняя или нижняя граница области D

Рис. 2

задается несколькими аналитическими выражениями, то область D следует разбить на количество областей, равное числу аналитических выражений верхней (или нижней) границы области (рис.2), причем двойной интеграл по области D в этом случае равен сумме двойных интегралов по полученным областям.

В том случае, когда область D ограничена кривыми , непрерывными на [c,d], прямыми y = c и y = d, область D является простой и правильной в направлении оси OХ (рис. 3).

Рис. 3

Двойной интеграл по такой области вычисляют по формуле

.

Если область D правильна в направлении обеих координатных осей (рис. 4), то двойной интеграл по такой области можно вычислять в любом порядке: .

Рис. 4

Пусть область D ограничена линией r = r( ) и лучами = и = , где и r – полярные координаты точки на плоскости, связанные с ее декартовыми координатами x и y


    Предельный анализв экономике