Примеры задач по математике Основные методы интегрирования Использование интегралов в экономических расчетах Определенный интеграл Геометрические приложения определенного интеграла Обыкновенные дифференциальные уравнения

Производные элементарных функций Определенные интегралы в физике Исследовать систему уравнений Предел последовательности и функции Применение пределов в экономических расчетах Предельный анализв экономике Первообразная

Примеры задач по математике. Разделы - предел, дифференцирование, интегрирование

Тройной интеграл в декартовых координатах

Пример . Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями .

Решение. Сделаем чертеж.

Данное тело ограничено с боков цилиндрической поверхностью , снизу – поверхностью , а сверху – (рис. 10).

Рис. 10

Вычислим объем тела по формуле . Спроецируем тело на плоскость OXY и найдем область D. Для этого необходимо найти линию пересечения плоскостей z = y и z + y =2. Очевидно, плоскости пересекаются по прямой y = 1. Тогда

,

где – и – уравнения ветвей параболы , разрешенные относительно переменной x. Из рис. 10 видно, что тело симметрично относительно плоскости OYZ, поэтому можно упростить вычисление внутреннего интеграла, взяв в качестве нижнего предела x = 0, и результат удвоить.

Таким образом,

.


    Предельный анализв экономике