Примеры задач по математике Вычислить математическое ожидание Производные элементарных функций Определенные интегралы в физике

Понятие предела функции Обратная функция Уравнения прямых и кривых на плоскости Плоскость и прямая в пространстве Показательные и логарифмические уравнения Математическое ожидание и дисперсия Дискретные распределения вероятностей

Примеры задач по математике. Разделы - предел, дифференцирование, интегрирование

Математическое ожидание и дисперсия

Пусть мы измеряем случайную величину N раз, например, десять раз измеряем скорость ветра и хотим найти среднее значение. Как связано среднее значение с функцией распределения?

Будем кидать игральный кубик большое количество раз. Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске, является случайной величиной и может принимать любые натуральные значения от 1 до 6. Среднее арифметическое выпавших очков, подсчитанных за все броски кубика, тоже является случайной величиной, однако при больших N оно стремится ко вполне конкретному числу – математическому ожиданию M x . В данном случае M x  = 3,5.

Каким образом получилась эта величина? Пусть в N испытаниях раз выпало 1 очко,

Модель 4.5. Игральные кости
 

Предположим теперь, что мы знаем закон распределения случайной величины x , то есть знаем, что случайная величина x может принимать значения x 1 x 2, ...,  x k с вероятностями p 1 p 2, ...,  p k .

Математическое ожидание M x случайной величины x равно

Математическое ожидание случайной величины часто обозначается как < x >. Записи < x > и M x эквивалентны.

Пример

Найти математическое ожидание числа очков, которые выбьет первый стрелок в предыдущем примере.

Показать решение

Закон распределения рассматриваемой случайной величины может быть задан следующей таблицей:

1 2 3 0 0,2 0,8

Значит,

Ответ. 2,8.

Математическое ожидание не всегда является разумной оценкой какой-нибудь случайной величины. Так, для оценки средней заработной платы разумнее использовать понятие медианы, то есть такой величины, что количество людей, получающих меньшую, чем медиана, зарплату и большую, совпадают.

 

Медианой случайной величины называют число x 1/2 такое, что p  ( x  <  x 1/2 ) = 1/2.

Другими словами, вероятность p 1 того, что случайная величина x окажется меньшей x 1/2, и вероятность p 2 того, что случайная величина x окажется большей x 1/2, одинаковы и равны 1/2. Медиана определяется однозначно не для всех распределений.

Вернёмся к случайной величине x , которая может принимать значения x 1 x 2, ...,  x k с вероятностями p 1 p 2, ...,  p k .

 

Дисперсией случайной величины x называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

Используя вероятности p i того, что величина x принимает значения x i , эту формулу можно переписать следующим образом:

 

Среднеквадратическим отклонением случайной величины x называется корень квадратный из дисперсии этой величины:

Пусть задано некоторое конечное множество из n различных элементов

Пусть задано некоторое конечное множество из n различных элементов. Пусть из числа его элементов выбраны k различных штук ( k  ≤  n ), тогда говорят, что произведена выборка объёма k . Если важен порядок, в котором произведена выборка элементов, то говорят об упорядоченной выборке , если порядок не важен, то о неупорядоченной . Сколько семизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр при условии, что цифры в записи числа не повторяются?

Для проведения письменного экзамена нужно составить 3 варианта по 5 задач в каждом. Сколькими способами можно разбить 15 задач на 3 варианта?

Случайной величиной называется числовая переменная величина, принимающая в зависимости от случая те или иные значения с определёнными вероятностями. Число попаданий в цель при данном числе выстрелов, скорость молекулы газа являются типичными примерами случайных величин.

 


Двойной интеграл в декартовых координатах