Примеры задач по математике Вычислить математическое ожидание Производные элементарных функций Определенные интегралы в физике

Понятие предела функции Обратная функция Уравнения прямых и кривых на плоскости Плоскость и прямая в пространстве Показательные и логарифмические уравнения Математическое ожидание и дисперсия Дискретные распределения вероятностей

Примеры задач по математике. Разделы - предел, дифференцирование, интегрирование

Предел функции

Понятие предела функции является одним из самых важных в математике. Дадим два определения этому понятию.

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f  ( x ) в точке a , если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a , и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x , удовлетворяющих условию | x  –  a | < δ, x  ≠  a , выполняется неравенство | f  ( x ) –  A | < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f  ( x ) в точке a , если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a , и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу a , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу  A .

График 1.3.6.1.

График 1.3.6.2.

Если A – предел функции в точке a , то пишут, что

Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны

Аналогично формулируется определение предела при x , стремящемся к минус бесконечности: В качестве примера приведем функцию которая стремится на бесконечности к нулю:

Для вычисления пределов часто используют так называемые замечательные пределы :

Непрерывность функций Функция f  ( x ), определенная в точке a , называется непрерывной в этой точке, если

 

Примером разрывной функции может служить функция зависимости плотности воды в окрестности 0 ºC. Примером непрерывной функции является зависимость площади квадрата от длины его стороны. Подчеркнем еще раз, что если функция непрерывна в точке x 0, то она определена в этой точке.

 


Двойной интеграл в декартовых координатах