Примеры задач по математике Найти объем тела, ограниченного поверхностями Вычисление криволинейного интеграла Исследование функций при помощи производных Построение графиков функций

Двойной интеграл в декартовых координатах Геометрические приложения двойного интеграла Вычислить двойной интеграл Тройной интеграл в декартовых координатах Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела Криволинейный интеграл

Примеры задач по математике. Разделы - предел, дифференцирование, интегрирование

Точно так же решаются и нелинейные неравенства с двумя неизвестными.

Например, решим неравенство x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Его можно переписать в виде (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

Уравнение (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 задает окружность с центром в точке C(2,-3) и радиусом 5. Окружность разбивает плоскость на две части - внутреннюю и внешнюю. Чтобы узнать, в какой из них имеет место данное неравенство, возьмем контрольную точку во внутренней области, например, центр C(2,-3) нашей окружности. Подставляя координаты точки C в левую часть неравенства, получаем отрицательное число -25. Значит, и во всех точках, лежащих внутри окружности, выполняется неравенство
x 2 -4x+y 2 +6y-12 < 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Пример 1.5. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку A(3,1) и наклоненных к прямой 2x+3y-1 = 0 под углом 45 o.

Решение. Будем искать уравнение прямой в виде y=kx+b. Поскольку прямая проходит через точку A, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. 1=3k+b, Þ b=1-3k. Величина угла между прямыми
y= k 1 x+b 1 и y= kx+b определяется формулой tg
j = уравнение. Так как угловой коэффициент k 1 исходной прямой 2x+3y-1=0 равен - 2/3, а угол j = 45 o, то имеем уравнение для определения k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 или (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Имеем два значения k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Находя соответствующие значения b по формуле b=1-3k, получим две искомые прямые, уравнения которых: x - 5y + 2 = 0 и
5x + y - 16 = 0.

Пример 1.6 . При каком значении параметра t прямые, уравнения которых 3tx-8y+1 = 0 и (1+t)x-2ty = 0, параллельны ?

Решение. Прямые, заданные общими уравнениями, параллельны, если коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Решая полученное уравнение, находим t : t 1 = 2, t 2 = -2/3.

Пример 1.7 . Найти уравнение общей хорды двух окружностей:
x 2 +y 2 =10 и x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

Решение. Найдем точки пересечения окружностей, для этого решим систему уравнений:

уравнения.

Решая первое уравнение, находим значения x 1 = 3, x 2 = 1. Из второго уравнения - соответствующие значения y : y 1 = 1, y 2 = 3. Теперь получим уравнение общей хорды, зная две точки А(3,1) и B(1,3), принадлежащие этой прямой: (y-1)/(3-1) = (x-3)/(1-3), или y+ x - 4 = 0.


Применение пределов в экономических расчетах