Примеры задач по математике Найти объем тела, ограниченного поверхностями Вычисление криволинейного интеграла Исследование функций при помощи производных Построение графиков функций

Двойной интеграл в декартовых координатах Геометрические приложения двойного интеграла Вычислить двойной интеграл Тройной интеграл в декартовых координатах Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела Криволинейный интеграл

Примеры задач по математике. Разделы - предел, дифференцирование, интегрирование

Системы линейных уравнений общего вида

Пример. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.

2x 1 - x 2 + x 3 + x 4 = 1,

x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2,

x 1 + 7x 2 - 4x 3 + 11x 4 = a.

Решение. Данной системе соответствует матрица ` . Имеем ` А ~ следовательно, исходная система равносильна такой:

x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2,

5x 2 - 3x 3 + 7x 4 = a-2,

0 = a-5.

Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение в этом случае имеет вид:

x 2 = 3/5 + 3/5x 3 - 7/5x 4, x 1 = 4/5 - 1/5x 3 - 6/5x 4.

Пример Выяснить, будет ли линейно зависимой система векторов:

a 1 = (1, 1, 4, 2),

a 2 = (1, -1, -2, 4),

a 3 = (0, 2, 6, -2),

a 4 = (-3, -1, 3, 4),

a 5 = (-1, 0, - 4, -7).

Решение. Система векторов является линейно зависимой, если найдутся такие числа x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, из которых хотя бы одно отлично от нуля (см. п. 1. разд. I ), что выполняется векторное равенство:

x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 + x 5 a 5 = 0.

В координатной записи оно равносильно системе уравнений:

x 1 + x 2 - 3x 4 - x 5 = 0,

x 1 - x 2 + 2x 3 - x 4 = 0,

4x 1 - 2x 2 + 6x 3 +3x 4 - 4x 5 = 0,

2x 1 + 4x 2 - 2x 3 + 4x 4 - 7x 5 = 0.

Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее методом исключения неизвестных:

.

Система приведена к ступенчатому виду, ранг матрицы равен 3, значит, однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого (r < n). Определитель при неизвестных x 1, x 2, x 4 отличен от нуля, поэтому их можно выбрать в качестве главных и переписать систему в виде:

x 1 + x 2 - 3x 4 = x 5,

-2x 2 + 2x 4 = -2x 3 - x 5,

- 3x 4 = - x 5.

Имеем: x 4 = 1/3 x 5, x 2 = 5/6x 5 +x 3, x 1 = 7/6 x 5 -x 3.

Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные неизвестные x 3 и x 5 не равны нулю одновременно, то и главные неизвестные отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение

x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 + x 5 a 5 = 0

имеет коэффициенты, не равные нулю одновременно; пусть например, x 5 = 6, x 3 = 1. Тогда x 4 =2, x 2 = 6, x 1 =6 и мы получим соотношение

6 a 1 + 6 a 2 + a 3 + 2 a 4 + 6 a 5 = 0,

т.е. данная система векторов линейно независима.

Уравнение вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка . Рассмотрим способы решения некоторых его типов.

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Системы линейных уравнений общего вида

В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы.

 


Применение пределов в экономических расчетах