Примеры задач по математике Найти объем тела, ограниченного поверхностями Вычисление криволинейного интеграла Исследование функций при помощи производных Построение графиков функций

Двойной интеграл в декартовых координатах Геометрические приложения двойного интеграла Вычислить двойной интеграл Тройной интеграл в декартовых координатах Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела Криволинейный интеграл

Примеры задач по математике. Разделы - предел, дифференцирование, интегрирование

Основные методы интегрирования

Функция F( x ), дифференцируемая в данном промежутке X, называется первообразной для функции f ( x ), или интегралом от f ( x ), если для всякого x Î X справедливо равенство:

F ¢ (x) = f(x). (8.1)

Нахождение всех первообразных для данной функции называется ее интегрированием. Неопределенным интегралом функции f ( x ) на данном промежутке Х называется множество всех первообразных функций для функции f ( x ); обозначение -

ò f( x) dx .

Если F( x ) - какая-нибудь первобразная для функции f ( x ), то

ò f( x) dx = F(x) + C, (8.2)

где - произвольная постоянная. Изменить порядок интегрирования Математика Примеры вычисления интегралов Дифференциальные уравнения

Непосредственно из определения получаем основные свойства неопределенного интеграла и список табличных интегралов:

1) d ò f(x)=f(x) dx ,

2) ò df ( x)=f(x)+C,

3) ò af ( x) dx =a ò f(x) dx (a=const),

4) ò ( f( x)+g(x)) dx = ò f(x) dx + ò g(x) dx .

Список табличных интегралов

1. ò x m dx = x m +1 /( m + 1) +C ( m ¹ -1).

2. = ln ê x ê +C.

3. ò a x dx = a x / ln a + C (a>0, a ¹ 1).

4. ò e x dx = e x + C.

5. ò sin x dx = cos x + C.

6. ò cos x dx = - sin x + C.

7. = arctg x + C.

8. = arcsin x + C.

9. = tg x + C.

10. = - ctg x + C.

Отыскание уравнения прямой по эмпирическим данным называется выравниванием по прямой, а отыскание уравнения параболы - выравниванием по параболе. В экономических расчетах могут встретиться также и другие функции. Довольно часто встречаются эмпирические формулы, выражающие обратно пропорциональную зависимость, графически изображаемую гиперболой. Тогда говорят о выравнивании по гиперболе и т.д.

Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной.

Последнее свойство называется теоремой о среднем значении.

Пример. Найти ò tg x dx .


Применение пределов в экономических расчетах