Примеры задач по математике Основы расчета и проектирования деталей и узлов машин Начертательная геометрия Курс лекций и практических занатий по черчению Базовый курс по электротехнике

Начертательная геометрия

Проекции точки.

Метод проецирования.

Для построения изображения предметов на плоскости пользуютсь методом проецирования. Слово «проекция» - латинское, от глагола projecere, что в переводе означает «бросать вперед».

Следовательно, проекция – это изображение предмета, «отброшенное» на плоскость при помощи лучей. Спроецировать предмет на плоскость – это значит построить его изображение на плоскости.

Проекции разделяются на центральные и параллельные.

Рис. 1.1.

1.1.1. Идея центрального проецирования видна из рис. 1.1. Пусть заданы в пространстве точка S – центр проекции и плоскости. П1 – плоскость проекции. Плоскость П1 и точка S составляют аппарат центральной проекции. Проецируемый треугольник АВС называется оригиналом, или натурой. Чтобы спроецировать заданный оригинал, нужно из центра проекции S через вершины треугольника провести проецирующие лучи до пересечения с плоскостью проекции П1. Точки пересечения А1, В1, С1, называются центральными проекциями вершин А, В, С, на плоскость П1, а треугольник А1В1С1 – центральной проекции треугольника АВС. Центральные проекции (перспективу) применяют в архитектурных чертежах, в аэрофотосъемке, рисовании и др. Вследствие трудностей при построении изображений и их измерении, а также при чтении чертежей, в машиностроительном черчении центральными проекциями не используются.

1.1.2. В начертательной геометрии используют метод параллельного проецирования (рис. 1.2.). Как и в предыдущем случае, выбирают плоскость проецирования П1, но вместо центра проекции S задают направление проецирования s, т. е. считают, что точка S – центр проекции – расположена в бесконечности и поэтому проецирующие лучи параллельны между собой. Плоскость П1 и направление s составляют аппарат параллельной проекции. Чтобы спроецировать треугольник АВС на плоскость П1, через вершины А, В, С проводят проецирующие лучи параллельно направлению проецирования s. Треугольник А1В1С1, образованный пересечением лучей АА1, ВВ1, СС1 с плоскостью П1, и будет параллельной проекцией треугольника АВС.

Рис. 1.2.

Параллельные проекции разделяются на прямоугольные и косоугольные. Если проецирующие углы перпендикулярны к плоскости проекций (рис. 1.3.), то способ проецирования называется прямоугольным, а полученные при этом проекции – прямоугольными, или ортогональными. Если же угол наклона лучей не равен 90º, то подобная параллельная проекция называется косоугольной. В черчении используют, главным образом, прямоугольные проекции.

Рис. 1.3.

1.2. Задание точки н комплексном чертеже Монжа (эпюр Монжа)

1.2.1.Пространственная (или декартовая) система координат. Плоскости проекций

1.2.2Проецирование точки на две плоскости проекций. Четверти пространства

1.2.3 Проекции точки на три плоскости проекций. Октанты пространства

1.2.4 Точки проекций общего и частного положения

1.2.1 Пространственная (или декартовая) система координат. Плоскости проекций

. В данном курсе будут рассмотрены чертежи, получаемые ортогональным проецированием на две или более взаимно перпендикулярные плоскости проекций (комплексный чертеж) и путем перепроецирования вспомогательной проекции предмета на основную аксонометрическую плоскость проекций (аксонометрический чертеж).

Рис. 1. 4.

Из рис. 1. 4. видно, что проекции А1 отвечает бесчисленное множество точек (А, A’, A''), лежащих на проецирующем луче, идущем из А1 перпендикулярно к плоскости проекции П1.

Совокупность двух прямоугольных проекций на две взаимно перпендикулярные плоскости позволяет однозначно определить форму и положение предмета в пространстве. Однако в черчении при построении изображений чаще используют три плоскости проекции и потому рассмотрим законы проецирования на три плоскости проекции.

Пусть заданы три взаимно перпендикулярные плоскости проекций, образующих прямой трехгранный угол (рис.1.5.): П1 – горизонтальная, П2 – фронтальная и П3 – профильная плоскости проекций; линии Оx, Оy, Оz взаимного пересечения плоскостей проекций называются осями проекций, а точка О – началом осей проецирования.

Рис. 1.5.

В пространстве трехгранного угла задана точка А и требуется построить ее проекции на плоскости П1, П2, П3 (точку можно рассматривать как вершину некоторого предмета, например параллелепипеда, изображенного на рис.1.6.). Для этого из точки А проводят проецирующие лучи АА1, АА2, АА3, перпендикулярные к плоскостям проекций, до пересечения с ними. В результате пересечения получают А1 – горизонтальную, А2 – фронтальную, А3 – профильную проекции точки А. Прямая АА1 называется горизонтально проецирующим, АА2 – фронтально проецирующим, АА3 – профильно проецирующим лучами. Проецирующие лучи АА1 и АА2 определяют плоскость перпендикулярную к оси Ох и ∩ плоскостям П1, П2 пересекает плоскости проекций по прямым А1Ах и А2АХ, перпендикулярно к оси Ох. Точку пересечения этой плоскости с осью Ох обозначают Ах. рассуждая аналогично, получают прямые А1Ау и А3Ау, перпендикулярные к оси Оу, и прямые А2Az и А3Az, перпендикулярные к оси Оz.

Рис. 1.6.

Проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций

Обратимость чертежа будет обеспечена проецированием на две непараллельные, например, взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Одна из них – горизонтальная плоскость проекций  или H, другая, перпендикулярная ей, - фронтальная плоскость проекций  или V. Линия их пересечения является осью проекций. Эти плоскости проекций образуют систему  или в иных обозначениях . В промышленности чертежи многих деталей выполняются в ортогональной системе V,W. Плоскость W является профильной плоскостью проекций (рис.1.12).

Горизонтальной проекцией точки A называют прямоугольную проекцию этой точки на горизонтальной плоскости проекций или ; фронтальной – на фронтальной плоскости проекций  или  (рис.1.13). Две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве относительно данной системы плоскостей проекций.

Повернув плоскость  (рис.1.13) вокруг оси проекций на угол 90º, получим одну плоскость (рис.1.14) – плоскость чертежа: проекции  и  расположены на одном перпендикуляре к оси проекций – линии связи. В результате проведенного совмещения плоскостей (H) и  (V) получим чертеж, известный под названием эпюр (Эпюр Монжа, 1799 г.) (рис. 1.14). Условимся в дальнейшем эпюр Монжа, а также проекционные чертежи, в основе которых лежит метод Монжа, называть одним словом – чертеж и понимать это только в указанном смысле. Переходя к эпюру, теряется пространственная картина расположения плоскостей проекций и точки. Однако эпюр обеспечивает точность и удобоизмеримость изображений при значительной простоте построений.

Так, при наличии оси проекций, положение точки A относительно плоскостей проекций устанавливается однозначно. Отрезок  определяет расстояние точки A от плоскости проекций , а отрезок  – расстояние точки A до оси проекций выражается гипотенузой , откладывая от  отрезок, равный (рис.1.15).

Проецирование точки на две плоскости проекций. Четверти пространства Две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1 – горизонтальная плоскость проекций, П2 – фронтальная плоскость проекций делят пространство на четыре квадранта (четверти)

Проекции точки на три плоскости проекций. Октанты пространства В начертательной геометрии принято от пространственного изображения точки и ее проекций переходить к плоскому, или комплексному, чертежу, образованному вращением плоскости проекций вокруг осей проекций

Точки проекций общего и частного положения. Наиболее удобной для фиксирования положения геометрической фигуры в пространстве является декартова система координат, состоящая из трех взаимно перпендикулярных плоскостей:

Проекции прямой . Проецирование прямой на три плоскости проекции.


на главную