Примеры задач по математике Основы расчета и проектирования деталей и узлов машин Начертательная геометрия Курс лекций и практических занатий по черчению Базовый курс по электротехнике

Начертательная геометрия

Построение точки пересечения прямой и плоскости

Прямая линия в пространстве может принадлежать плоскости (этот случай был рассмотрен ранее в пункте 3.4 настоящей главы), а также быть параллельной плоскости или пересекать её. При пересечении прямой линии с плоскостью следует выделить частный случай, когда прямая перпендикулярна плоскости. Первый случай был разобран в пункте 3.4, в котором рассматривалась одна из основных графических операций – построение линий, принадлежащих плоскости.

Рассмотрим случай пересечения прямой линии с плоскостью.

Если прямая не принадлежит плоскости, и не параллельна ей, то она пересекает данную плоскость. Задача на пресечение прямой линии с плоскостью является одной из основных задач начертательной геометрии. Она входит составной частью в решение самых различных задач по всем разделам курса. Решение задач на пересечение прямой и плоскости с поверхностью и взаимное пересечение поверхностей, построение теней в ортогональных проекциях, аксонометрии и перспективе практически сводится к определению точки пересечения прямой с плоскостью или поверхностью.

При решении задач на пересечение прямой с плоскостью следует выделить частный случай. Если плоскость занимает проецирующее положение, то одна проекция точки пересечения определяется в пересечении проекции прямой с проецирующим следом плоскости, а другая проекция строится с помощью линии связи (рис. 3.10.) При запуске Автокада создается новый чертеж-файл без имени. Можно либо начать создавать объект в нем, либо загрузить уже имеющийся чертеж, при этом сохраняются все рабочие установки, заданные в ходе последнего сеанса работы с ним.

Рис. 3.10

а) б)

Рис. 3.11

Если заданная плоскость общего положения, точка пересечения прямой с плоскостью определяется с помощью вспомогательной секущей плоскости.

Для построения точки пересечения прямой линии с плоскостью необходимо (рис. 3.11):

провести через прямую АВ вспомогательную проецирующую плоскость Q;

построить линию 1-2 пересечения данной плоскости и вспомогательной;

определить искомую точку К пересечения данной прямой DЕ с линией пересечения плоскостей 1-2.

Решение этой задачи показано на пространственной модели (рис. 3.12, а) и на комплексном чертеже (рис. 3.12,б). Завершается решение задачи определением видимых участков прямой. Видимость прямой относительно плоскости треугольника определяется путем разбора взаимоположения точек заданной прямой и сторон плоскости треугольника, совпадающих на проекциях (метод конкурирующих точек).

Рис. 3.12

Задача на пресечение прямой с плоскостью решается аналогичным способом и в том случае, когда плоскость задана следами (рис. 3 13). Через прямую АВ проведена горизонтально–проецирующая плоскость Q. Найдена линия пересечения МN плоскости посредника Q с плоскостью заданной Р. Искомая точка пересечения К прямой АВ с плоскостью Р найдена в пересечении заданной прямой с полученной линией пересечения. Видимость участков прямой определена методом конкурирующих точек.

Рис. 3.13.

3.8 Параллельность прямой и плоскости

При решении вопроса параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стереометрии: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости.

Оценим взаимное положение прямой АВ и плоскости, представленных на рис. 3.14.

Рис. 3.14

Для этого проведем через прямую АВ вспомогательную плоскость Q (QП1).

В данном случае через прямую проведена горизонтально-проецирующая плоскость, горизонтальный след которой сливается с одноименной проекцией прямой А1В1. Далее построены проекции линии пересечения плоскостей 1-2 сравнение которых с проекциями прямой показывает, что прямая АВ не параллельна плоскости треугольника ВСD.

Рис. 3.15

На рис. 3.15 показано построение прямой параллельной заданной плоскости треугольника АВС и проходящей через точку К Через заданную точку в пространстве можно провести бесчисленное множество прямых линий параллельных заданной плоскости. Для получения единственного решения требуется какое-нибудь дополнительное условие. Например, искомая прямая должна быть параллельна плоскости треугольника АВС и параллельна плоскости проекций П1 (дополнительное условие).

Для решения задачи в плоскости треугольника АВС проведена одна из горизонталей и затем через точку К проведена прямая, параллельная этой горизонтали.

Построение на чертеже натуральной величины отрезка прямой общего положения.

Прямая общего положения составляет с плоскостями проекций произвольные прямые. Угол между прямой и плоскостью проекций определяется углом между прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость.


На рис. показано определение натуральной величины отрезка АВ на эпюре


Лекция №3.

Плоскость. Способы задания плоскости. Плоскости общего и частного положения. Главные линии плоскости.

Плоскость считается заданной, если относительно любой точки пространства однозначно решается вопрос о принадлежности её данной плоскости.

На эпюре плоскость может быть задана, рис.3.1. :

а) тремя точками, не лежащими на одной прямой [α( A, B, C )];

б) прямой и точкой не лежащей на этой прямой [α (А,а)];

в) двумя пересекающимися прямыми [α (а∩b)];

г) двумя параллельными прямыми [α (а׀׀b)];

д) проекциями плоской фигуры [α (∆АВС)]

е) следами [α(α1α2)].

След - линия пересечения плоскости с плоскостью проекций. Пересечение следов называется точкой схода следов (αх, αу, αz).

Положение плоскости относительно плоскостей проекций.

 


на главную