Примеры задач по математике Основы расчета и проектирования деталей и узлов машин Начертательная геометрия Курс лекций и практических занатий по черчению Базовый курс по электротехнике

Начертательная геометрия

Перпендикулярность прямой и плоскости

Из стереометрии известна теорема об условии перпендикулярности прямой к плоскости: прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости. Известно также, что прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в этой плоскости, в том числе к её линиям уровня.

При построении проекций прямой перпендикулярной к плоскости, в качестве пересекающихся прямых этой плоскости берутся её линии уровня или следы плоскости, а не случайные прямые. Системы координат В двухмерном пространстве задание точек производится в плоскости XY. Они могут вводиться как в декартовой, так и в полярной форме. В том и в другом случае координаты можно задавать в абсолютном и в относительном виде. Абсолютные координаты откладываются от начала координат, относительные — от последней точки.

Рис. 3.16

Пусть прямая КР (рис. 3.16). Проведем через точку А горизонталь h (АС) плоскости Р. Эти прямые образуют прямой угол (КААС), одна сторона которого АС параллельна плоскости П1. Такой угол спроецируется на плоскость П1 без искажения А1К1h1(А1С1). Но так как h1Р1, то А1К1Р1. Проведем фронталь f(АВ) плоскости Р: АКf(АВ) и А2К2f2(А2В2), так как fП2. Но f2 (А2В2)  Р2, поэтому А2К2Р2.

Итак условие построения модели взаимно перпендикулярных прямых и плоскости: если АКР и (h, f)Р, то А1К1h1 и А2К2f2.

Выводы: если прямая перпендикулярна к плоскости, то горизонтальная проекция её перпендикулярна к горизонтальным проекциям горизонталей, а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальным проекциям фронталей этой плоскости.

Приведенное положение дает возможность решать ряд задач и, в частности, опустить или восстановить перпендикуляр к плоскости, решить обратную задачу – провести плоскость перпендикулярно прямой, определить расстояние от точки до плоскости (см. пример 7.8)

3.10 Параллельность плоскостей

Рассмотрим случай взаимной параллельности плоскостей. Если плоскости параллельны, то всегда в каждой из них можно построить по две пересекающиеся между собой прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости (рис. 3.17,а).

Рис. 3.17

Это служит основным признаком для определения, параллельны плоскости между собой или не параллельны. Такими прямыми могут служить, например, следы обеих плоскостей: если два пересекающихся между собой следа одной плоскости параллельны одноименным с ними следам другой плоскости, то обе плоскости параллельны между собой (3.17, б, где Р1Q1, P2Q2).

На рис. 3.18 показано построение плоскости, параллельной заданной плоскости Р.

В первом случае (рис. 3.18,а) искомая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, проходящими через точку А и являющимися главными линиями плоскости – горизонталью и фронталью. На рис. 3.18 б показано построение следов искомой плоскости Т, проходящей через заданную точку А.

Решение начато с построения горизонтали искомой плоскости и её фронтального следа N, через который проведен фронтальный лед плоскости Т(Т1,Т2). Через точку схода следов Тх прошел горизонтальный след искомой плоскости Т1Р1.

Рис. 3.18

3.11 Перпендикулярность плоскостей

Из стереометрии известно условие перпендикулярности двух плоскостей: если плоскость проходит через перпендикуляр к данной плоскости (или параллельна этому перпендикуляру), то она перпендикулярна к данной плоскости.

Рис. 3.19

Через данную точку А можно провести бесчисленное множество плоскостей перпендикулярных данной плоскости Р (рис. 3.19). Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр АВ, опущенный из точки А на плоскость Р.

На эпюре (рис. 3.20) показано построение одной из плоскостей этого пучка. Прежде всего через проекции точки А проведены проекции перпендикуляра АК к данной плоскости. Построение А1К1 и А2К2 не вызывает затруднений, так как плоскость Р задана главными линиями. Затем через проекции той же точки А проведены проекции произвольной линии АD. Эти две пересекающиеся линии АК и АD и определяют искомую плоскость Р.

Рис. 3.20

Плоскости могут занимать общее и частное положения.

а) плоскости общего положения – неперпендикулярные и непараллельные плоскостям проекций;

б) плоскости проецирующие – перпендикулярные к плоскостям проекций;

в) плоскости уровня – плоскости, параллельные одной плоскости проекции.

Принадлежность прямой и точки плоскости.

К числу основных задач, решаемых на плоскости, относятся: построение прямой в плоскости, построение в плоскости некоторой точки, проверка принадлежности точки плоскости.

Решение этих задач основывается на известных положениях геометрии:

прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в этой плоскости;

точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей плоскости.

Главные линии плоскости

Главные линии – это линии уровня, принадлежащие плоскости и линии, перпендикулярные к линиям уровня. Линии уровня: горизонталь, фронталь.


на главную