Примеры задач по математике Основы расчета и проектирования деталей и узлов машин Начертательная геометрия Курс лекций и практических занатий по черчению Базовый курс по электротехнике

Начертательная геометрия

Методы преобразования комплексного чертежа (эпюра Монжа)

Четыре основных задачи на преобразование

При разработке чертежей объектов необходимо давать наиболее выгодное изображение объекта в целом или его исследуемых элементов. Этого можно достичь, если прямые линии, плоские фигуры (основания, грани, ребра, оси) геометрических тел находятся в частном положении, чего можно достигнуть путем построения новых дополнительных проекций, исходя из двух заданных. Эти дополнительные проекции дают либо вырожденные проекции отдельных элементов, либо эти элементы в натуральную величину. Так вот построение дополнительных проекций называют преобразованием эпюра (чертежа).

Четыре основных задачи на преобразования.

Определение величины отрезка АВ общего положения;

Приведение отрезка прямой общего положения в проецирующее положение;

Приведение плоской фигуры общего положение в проецирующее положение;

Определение натурального вида плоской фигуры.

Проекции и их свойства Учебная дисциплина «Начертательная геометрии и инженерная графика» даёт студентам знания, которые необходимы им для общения с техническими специалистами на специальном графическом языке. Дисциплина включает следующие разделы: начертательную геометрию, машиностроительное черчение (инженерную графику) и основы компьютерной графики.

Кроме указанных выше задач указанным методом можно определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.

Преобразование эпюра может быть выполнено следующими методами:

заменой плоскостей проекций;

плоскопараллельным перемещением;

вращением вокруг линий уровня;

совмещением.

Рассмотрим эти методы подробно.

Метод замены (перемены) плоскостей проекций

Этот метод широко применяют во всех отраслях машиностроения и приборостроения. Сущность этого метода заключается в следующем: положение точек, линий, плоских фигур, поверхностей в пространстве не изменяется, а система П1/П2 заменяется (дополняется) плоскостями, образующими с П1 или П2 (или между собой) системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций.

Каждая новая система выбирается так, чтобы по отношению к заданным геометрическим элементам она заняла положение наиболее удобное для выполнения требуемого построения.

В ряде случаев для получения системы плоскостей проекций, разрешающей поставленную задачу, бывает достаточно ввести (заменить) только одну плоскость, например П4П1 или П5П2 при этом плоскость П4 окажется горизонтально-проецирующей, а плоскость П5 – фронтально-проецирующей. Если введение одной плоскости П4 или П5 не позволяет решить задачу, то прибегают к последовательному дополнению основной системы плоскостей проекций новыми (П6, П7 и т.д.).

На рис. 4.1. показано преобразование проекций точки А из системы П2/П1 в систему П4/П1, в которой вместо плоскости П2 введена новая плоскость П4, а плоскость П1 осталась неизменной. При этом плоскость П4 перпендикулярна плоскости П1. В системе П4/П1 горизонтальная проекция А1 точки А осталась неизменной.

Рис. 4.1

Проекция А4 точки А на плоскость П4 находиться на плоскости П1 на том же расстоянии (!!!), что и проекция А2 точки А на плоскость П2. это условие позволяет легко строить проекцию точки на новой плоскости проекций (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Для этого в новой системе (П1/П4) из проекции точки (А1) на сохраняющейся плоскости проекций проводят линию связи, перпендикулярную новой оси проекций (П4/П1). На этой линии связи отмечают расстояние от оси П4/П1 до проекции А4 точки А на новой плоскости проекций П4, равное расстоянию от преобразуемой проекции А2 точки до оси П2/П1 А4*2 = А2 *1.

При введении новой плоскости проекций, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций (например, плоскости П4 на рис. 4.3), расстояние от проекции (В4) точки В до новой оси проекций (П4/П2) равно расстоянию от горизонтальной проекции (В1) до оси П2/П1 В1*1 = В4*2.

Рис. 4.3

В дальнейшем при введении новой плоскости проекций ось проекций можно обозначать в виде дроби, черта которой лежит на оси; каждую букву при этом пишут как бы на «своей» плоскости.

Определение длины отрезка АВ общего положения (рис. 4.4)

Заменим плоскость П2 на П4АВ (ось П1/П4 А1В1). Расстояния от оси П1/П4 до А4 и В4 равны расстояниям от А2 и В2 до оси П2/П1 соответственно А4*2 = А2*1. Одновременно с определением действительной величины отрезка АВ определена величина  угла наклона к плоскости П1.

Рис. 4.4

Приведение отрезка прямой АВ общего положения в проецирующее положение (в продолжение предыдущего примера).

На том же рис. 4.4 новая система плоскостей проекций П4/П1 относительно отрезка АВ находиться в частном положении (П4АВ). Введем еще одну плоскость проекций П5П4 и отрезку АВ (ось проекций П4/П5А4В4). Относительно этой плоскости проекций П5 отрезок АВ занимает проецирующее положение (А5 = В5, А1*2 = А5*3).

Необходимо заметить, сто для преобразования эпюра отрезка общего положения в проецирующее требуется введение двух новых плоскостей проекции последовательно, первой – параллельно отрезку, второй – перпендикулярно ему. При этом должны выполняться условия перпендикулярности исходных и новых плоскостей проекций, а также сохранения координат проекций точек на заменяемых плоскостях проекций.

Приведение плоской фигуры общего положения в проецирующее положение, а также определение её натуральной величины.

На первом этапе задачу решают с помощью одной из линий уровня, например, горизонтали с проекциями А2F2, A1F1 (рис. 4.5). Новая плоскость проекций П4 в этом случае выбрана перпендикулярно горизонтали AF (ось П1/П4A1F1) и соответственно перпендикулярно плоскости П1.

Рис. 4.5

Откладывая на линиях связи от оси П1/П4 координаты вершин А, В, и С с плоскости П2 на плоскость П4, получим проекции указанных вершин (А4, В4 и С4), которые будут расположены на одной линии (т.е. плоскость АВСП4).

На втором этапе решения задачи (определить натуральную величину треугольника АВС) вводим новую плоскость проекций П5П4 и параллельно плоскости треугольника АВС (т.е. его проекции А4В4С4). Проведя линии связи от А4, В4 и С4 перпендикулярно оси П4/П5 и отложив на них от этой оси координаты вершин А, В и С с горизонтальной проекции треугольника АВС на плоскости П5 (А5, В5 и С5), получим натуральную величину треугольника АВС и углов при его вершинах.

Определение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми.

Это расстояние выражается длиной общего перпендикуляра MN к заданным прямым АВ и СD. (рис. 4.6)

Рис. 4.6

Для решения этой задачи необходимо, чтобы одна из этих прямых располагалась перпендикулярно плоскости проекций. Для этого необходимо последовательно ввести две новые плоскости проекций (П4 и П5) для превращения одной из прямых (например АВ) сначала в линию уровня (с помощью плоскости П4), а затем в проецирующую ( с помощью плоскости П5), после чего опустить перпендикуляр из проекции слившихся в одну точек А и В (А5 = В5) на проекцию С5D5 (M5N5 – действительно искомое расстояние).

На примере рассмотрим построение овала в горизонтальной плоскости проекций. Через центр овала О проводим оси горизонтальной плоскости проекций X и Y, и наносим точки 1, 2, 3, 4 соответствующие диаметру окружности, так как искажение в изометрии по осям равно 1. Через центр овала проводим малую ось овала (ось проекций, которая отсутствует в этой плоскости проекции) и перпендикулярно ей большую ось. На малой оси отмечаем точки 5, 6 диаметром окружности из центра О. Из точек 5 и 6 выполняем дугу радиусом R, соединяя точки 1, 4 и 2, 3. Соединяя точки 5, 2 или 5, 3 (или 6, 1 и 6, 4) получаем точки 7 и 8 на большой оси овала. Из точек 7 и 8 дугой радиуса r соединяем точки 3, 1 и 2, 4.

В диметрии построение овала в горизонтальной и профильной плоскостях проекций одинаковое, а во фронтальной отличается. Это связано с коэффициентом искажения по осям. По X и Z коэффициент искажения равен 1, а по оси Y равен 0,5. Рассмотрим построение овала в диметрии в горизонтальной плоскости проекции. Математически большая ось овала равна 1,06 диаметра окружности d.

Б.О. = 1,06 ´ d

Через центр овала О проводим оси горизонтальной плоскости проекции X и Y и наносим точки 1, 2 на оси X соответствующие диаметру окружности , по оси Y откладываем ½ диаметра окружности и получаем точки 3, 4. На малой оси овала, а это ось Z, откладываем от точки О в ту и другую сторону размер равный большой оси овала получаем точки 5 и 6. Из точек 5 и 6 выполняем дугу радиусом R соединяя точки 1, 4 и 2, 3 с переходом за точки 4 и 3. Точки 1 и 2 перебрасываем на продолжение дуг и полудуг 11 и 21. Соединив точки 5, 2 и 5, 11 (или точки 6, 1 и 6, 21) получаем точки 7 и 8 на большой оси овала. Из точек 7 и 8 дугой радиуса r соединяем точки 2 и 21 (11 и 1).

Подпись:  
			г					д			е
Рисунок 12
Рассмотрим порядок построения диметрической проекции детали. Построение начинаем с основания призмы (рисунок 12 а). На свободном поле чертежа намечаем направления аксонометрических осей и изображаем шестиугольник – нижнее основание, при этом стороны шестиугольника, расположенные на ортогональном чертеже параллельно оси х, направляем параллельно аксонометрической оси х. Вершины, лежащие на оси, переносим на аксонометрическую ось х. Расстояние между сторонами, параллельными оси х, равно 70 мм (коэффициенты искажения по осям приняты равными 1 и 0.5). Верхнее основание равно нижнему, оно изобразится таким же шестиугольником на расстоянии 100 мм от первого (рисунок12 б). Отмеряем величину по оси Z.

Затем на высотах 25 и 75 оснований призматического выреза строятся еще два шестиугольника (рисунок 12 в). В них проводятся линии параллельно оси у на расстоянии ширины выреза линии, соответствующие ребрам призматического выреза. После этого следует построить изображение цилиндрического отверстия (рисунок12 г). Цилиндр строим так, чтобы его верхнее основание совпадало с верхним основанием призмы. Центр овала должен совпадать с центром шестиугольника.


на главную