Примеры задач по математике Основы расчета и проектирования деталей и узлов машин Начертательная геометрия Курс лекций и практических занатий по черчению Базовый курс по электротехнике

Начертательная геометрия

Многогранники

Задание многогранников на эпюре Монжа (общие положения)

Многие пространственные фигуры представлены в виде многогранников – замкнутых пространственных фигур, ограниченных плоскими многоугольниками. Вершины и стороны многоугольников являются вершинами и ребрами многогранника, при этом, если все его вершины и ребра находятся по одну сторону плоскости любой из его граней, то многогранник называется выпуклым, а все его грани являются выпуклыми многоугольниками.

Многогранники широко распространены в архитектуре, строительстве, технике. Многие детали машин и механизмов, станков, инструментов и приборов имеют форму многогранников или их сочетаний.

5.2. Виды многогранников

Наибольший практический интерес представляют призмы, пирамиды и выпуклые однородные многогранники – тела Платона (тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр). Это правильные (соответственно) четырех-, шести-, восьми-, двенадцати- и двадцатигранники.

Пирамида – это многогранник, одна грань которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной (рис. 5.1). Пирамида называется правильной, если основанием её является правильной многоугольник, а высота (перпендикуляр, опущенный из вершины на основание) проходит через центр этого многоугольника. Выполнение чертежей деталей, имеющих сопряжения

Рис. 5.1

Пирамида называется усечённой, если вершина её отсекается плоскостью, пересекающей все ребра, исходящие из этой вершины (рис. 5.1, 5.2).

Рис. 5.2

Призмой называют многогранник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани – параллелограммы (рис. 5.3).

Рис. 5.3

Призму называют прямой, если ребра её перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, а боковые рёбра перпендикулярны основанию, то её называют параллелепипедом (рис. 5.4)

Рис. 5.4

Многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильными (это – тела Платона).

Русский математик Леонард Эйлер открыл и доказал знаменитую теорему, связывающую число граней (Г), вершин (В) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника:

Г + В – Р = 2 (число Эйлера)

Построение проекций многогранника сводиться к построению проекций вершин и рёбер, т.е. сетки многогранника.

5.3. Пересечение многогранника плоскостью

Цель пересечения многогранников – выяснить их конструктивные особенности, которые невозможно определить на обычных проекциях.

При пересечении многогранника плоскостью в сечении получается плоская фигура, ограниченная линиями пересечения секущей плоскости с гранями многогранника, т.е. с плоскостями.

Линия пересечения многогранника плоскостью определяется по точкам пересечения рёбер многогранника (метод рёбер) или по линиям пересечения граней многогранника с данной плоскостью (метод граней), т.е. задача сводиться к определению точек пересечения прямой с плоскостью (в первом случае) или к определению линий пересечения плоскостей.

Фигуру, полученную от пересечения многогранника плоскостью называют многоугольником (фигурой) сечения, иногда упрощенно, сечением (рис. 5.2 DЕF)

Если секущая плоскость параллельна плоскости проекций, то фигура сечения проецируется на эту плоскость проекций без искажения – в натуральную величину (рис. 5.1 123). В противном случае сечение проецируется с искажением, в частности и прямой (рис. 5.2). Поэтому для определения натуральной величины сечения необходимо применить один из методов преобразования проекций (замены плоскостей проекций, вращения или совмещения).

5.4. Пересечение многогранника прямой

Задачи на определение точек пересечения прямой линии с многогранником решают в соответствии с алгоритмом построения точки пересечения прямой с плоскостью. Выпуклые многогранники пересекаются прямой линией в двух точках (рис. 5.5 – т. т. K и L).

Рис. 5.5

На рис. 5.5 прямая М заключена во фронтально-проецирующую плоскость Т. На горизонтальной проекции простроена горизонтальная проекция сечения пирамиды этой плоскостью ( 112131), а также определены горизонтальные проекции точек пересечения прямой М со сторонами 123 К1 и L1. Фронтальные проекции этих точек и видимость прямой М определены путем ортогонального проецирования.

 

Лекция №1

Предмет начертательной геометрии. Методы проецирования. Эпюр Монжа. Точка, прямая на эпюре. Конкурирующие точки.

Начертательная геометрия является одним из разделов геометрии, в котором пространственные фигуры (совокупность точек, линий, поверхностей) с их геометрическими закономерностями изучаются в виде изображений на плоскости.

Правила построения изображений, изучаемых в начертательной геометрии, основаны на методе проекций.

В начертательной геометрии фигуры отображаются на плоскость способами  центрального, параллельного и ортогонального проецирования. Аппарат любого проецирования состоит из геометрической фигуры, проецирующего луча, центра проецирования, плоскости проекций.

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального, у которого центр проецирования удален в бесконечность (S¥). При параллельном проецировании применяют параллельные проецирующие лучи, проведенные в заданном направлении.

Частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, называют ортогональным проецированием.

Изображение точки на комплексном чертеже

 Рассмотрим систему трех взаимно перпендикулярных  плоскостей П1,П2,П3, Выделим в пространстве точку А и спроецируем её на все три плоскости проекций:

 

Плоскость П1, расположенную горизонтально, называют горизонтальной плоскостью проекций. Вертикальная плоскость П2, перпендикулярная к П1, называется фронтальной плоскостью проекций. Плоскость П1 и П2 пересекаются по прямой х12, называемой осью проекции П1Ç П2=х12 Вертикальная плоскость, перпендикулярная к плоскостям П1 и П2 называется  профильной плоскостью проекций и обозначается П3, П2 ÇП3=z23 П1ÇП3=у13 При ортогональном проецировании точка проецируется с помощью прямых, перпендикулярных плоскостям проекций. Поэтому все

прямые, перпендикулярные к плоскостям проекций называются

проецирующими.


на главную