Примеры задач по математике Основы расчета и проектирования деталей и узлов машин Начертательная геометрия Курс лекций и практических занатий по черчению Базовый курс по электротехнике

Начертательная геометрия

Проецирование точки на две плоскости проекций. Четверти пространства

Две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1 – горизонтальная плоскость проекций, П2 – фронтальная плоскость проекций делят пространство на четыре квадранта (четверти):

I октант – передний верхний,

II октант – задний верхний,

III октант – задний нижний,

IV октант - передний нижний.

Плоскости П1 и П2 пересекаются по прямой, называемой осью проекций (осью абсцисс).

Пусть дана точка А в I октанте и требуется спроецировать её (ортогонально) на плоскости П1 и П2 (рис. 1.7).

Рис. 1.7

Спроецировать ортогонально точку А – значит геометрически опустить з точки А на плоскости проекций П1 и П2 перпендикуляры.

АА2П2

АА1П1

Построим комплексный чертеж (эпюр) точки А, т.е. плоский чертеж точка А, состоящий из двух проекций точки А. Для этого мысленно удаляют точку А и проецирующие прямые АА1 и АА2, а затем вращают плоскости П1 вокруг оси Х до совмещения с плоскостью П2, вращая плоскость П1 так, чтобы передняя полуплоскость П1 оказалась под осью Х в совмещенном положении (см. стрелки рис. 1.1).

Прямая линия АА, соединяющая две проекции точки на чертеже, называется линией связи.

Проще начинать строить эпюр точки А с фронтальной проекции А2, т.к фронтальная плоскость совпадает с плоскостью эпюра, и поэтому расположение точки А2 относительно оси Х12 на эпюре будет таким же, как и на оригинале (рис. 1.8).

Рис. 1.8.

Отрезок А1Ах равен расстоянию точки А до фронтальной плоскости проекций П2, называемому ординатой точки А или глубиной точки А. А1Ах=АА2=УА.

Отрезок А1Ах равен расстоянию точки А до горизонтальной плоскости проекций П, называемому аппликатой точки А или высотой точки А.

А2Ах=АА1=ZА

Прочитать чертеж точки А, значит перегнуть его мысленно по оси Хх (ось абсцисс), восстановить перпендикуляры из проекций точки А, и тогда точка пересечения их будет точкой А, заданной комплексным чертежом. Таким же образом доказывается и то, что две проекции точки вполне определяют положение точки в пространстве.

Построение чертежей точек по координатам упрощается, если нанести координатные оси аппликат Z и ординат Y на наглядном рисунке плоскостей проекций П1 и П2 и на комплексном чертеже точки (рис. 1.9)

Рис. 1.9.

Таблица 1

В начертательной геометрии принята левая система координат, когда влево направлена положительная полуось абсцисс Х. Обе проекции точки могут располагаться как над осью Х-ов в зависимости от того, в каком квадранте будет расположена точка.

Построение эпюра (чертежа) точки по наглядному рисунку точки в пространстве, расположенной в той или иной четверти, проще начинать с построения фронтальной проекции точки, откладывая на эпюре по направлению линии связи размер высоты точки, а после этого надо представить себе и решить, куда – вниз или вверх будет перемещаться горизонтальная проекция точки с той горизонтальной полуплоскостью, на которой она расположена, и только тогда можно решить, где над осью Х-ов, или под осью Х-ов будет расположена горизонтальная проекция точки на эпюре.

Построение наглядного рисунка точки в пространстве, расположенной в том или ином квадранте по заданному эпюру точки, лучше также начинать с фронтальной проекции, откладывая размер А2Ах высоты точки А. После этого надо решить вопрос, на какой горизонтальной полуплоскости проекции, передней или задней, должна лежать горизонтальная проекция точки. Если на эпюре горизонтальная проекция точки лежит под осью абсцисс, то она на наглядном рисунке будет расположена на передней горизонтальной полуплоскости. Если над осью абсцисс, то – на задней горизонтальной полуплоскости.

Проецирование на три взаимно перпендикулярные плоскости проекции

На практике зачастую бывает недостаточно двух плоскостей проекций. Введем третью плоскость проекций  или W, перпендикулярную к   и , и называемую профильной. Получилась система трех плоскостей проекций ,, или H,V,W. Точка в системе H,V,W определяется тремя проекциями , , (рис.1.16). Горизонтальная и фронтальная проекции расположены на линии связи , перпендикулярной оси x, а фронтальная и профильная проекции находятся на перпендикуляре к оси z - линии связи . Разворот плоскостей  и  проведен так, как было сказано ранее, на 90º, до совмещения их в одной плоскости. Построение профильной проекции  по горизонтальной  и фронтальной , а также определение расстояния от точки A до плоскостей проекций и осей изображены на рисунке 1.16.

Точка в четвертях и октантах пространства

 Необходимость использования четвертей и октантов пространства возникает при решении некоторых задач, например, при нахождении проекций точки пересечения прямых или прямой и плоскости, которые пересекаются за пределами первого октанта.

Плоскости  и  при пересечении образуют четыре двухгранных угла. Их называют квадрантами или четвертями. Принятый порядок отсчета плоскостей и примеры расположения точек приведены на рисунке 1.17, где номера четвертей отмечены римскими цифрами. Следует внимательно изучить второе изображение этого рисунка, так как это даст возможность быстро и безошибочно отмечать принадлежность точки соответствующей четверти.

Обычно считают, что зритель всегда находится в первой четверти на большом расстоянии и плоскости проекций не прозрачны, поэтому видимы только точки, расположенные в первой четверти, а также на полуплоскостях  и .

Три плоскости H,V,W или ,, в пересечении образуют восемь октантов (трехгранных углов) (рис.1.18). Для отсчета координат точки применяют следующую систему знаков:

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

пример

x

+

+

+

+

-

-

-

-

-10

5

-7

VIII

y

+

-

-

+

+

-

-

+

z

+

+

-

-

+

+

-

-

На правом изображении рисунка 1.17 точка A расположена в I октанте, а точка B – в VII октанте. Проекции точки, расположенной в I и VII октантах не могут наложиться одна на другую. Для остальных октант две или три (для II или VIII октантов) проекции одной и той же точки могут оказаться наложенными друг на друга.

Многие машиностроительные детали имеют различные отверстия, выемки, проточки и т. п., которые не полностью выявляются на видах. Если невидимый внутренний контур показывать штриховыми линиями, то в случаях сложных внутренних форм детали чертеж получится неясным и неудобным для чтения. Для выявления внутреннего контура детали пользуются разрезами и сечениями. При выполнении разреза или сечения деталь рассекают мнимой плоскостью и удаляют часть, находящуюся между наблюдателем и секущей плоскостью. Плоская фигура, получившаяся при этом, называется сечением. Сечение выделяется штриховкой. Если показать не только сечение, но и видимые поверхности, расположенные за плоскостью сечения, то получится разрез.


на главную