Примеры задач по математике Основы расчета и проектирования деталей и узлов машин Начертательная геометрия Курс лекций и практических занатий по черчению Базовый курс по электротехнике

Начертательная геометрия

Касательные плоскости.

Построение плоскости, касательной к кривой поверхности.

Плоскостью, касательной к поверхности, называется плоскость, определяемая двумя прямыми, касательными к двум пересекающимся линиям, принадлежащим этой поверхности.

Возьмем отсек некоторой кинетической поверхности Ф и на ней точку А.(рисунок 10.1)

Рисунок 10.1

Через точку А проведем на поверхность две любые кривые f1 и f2. К этим кривым в точке А построим касательные t1 и t2. Плоскость, образованная этими касательными и называется касательной плоскостью Q к поверхности Ф в точке А.

В то же время через точку А поверхности проходит бесчисленное множество кривых, каждая из которых имеет свою касательную. Следовательно, касательная плоскость является геометрическим местом всех касательных, проходящих через данную точку поверхности.

Введем еще одно понятие – нормаль.

Прямая n, проходящая через точку касания А и перпендикулярная касательной плоскости Q , называется нормалью к поверхности. Отсюда нормальное сечение поверхности – это сечение плоскостью, проходящей через нормаль. Для построения нормали на эпюре используют условие перпендикулярности прямой и плоскости (см. гл. ?).

Если в заданной точке поверхности можно построить единственную касательную, то такую точку называют обыкновенной.

Если в точке можно построить несколько касательных, то такую точку называют особой. Особыми точками является вершина конической поверхности и точка на ребре возврата.

Рассмотрим плоскости касательные к поверхности в обыкновенных точках.

В зависимости от вида поверхности плоскость может касаться поверхности в одной точке, по линии (прямой или плоской кривой) или, касаясь, может пересекать поверхность по некоторой линии. Каждая из этих точек имеет свое название.

Если касательная плоскость имеет с поверхностью только одну общую точку, то все линии поверхности, пересекающиеся в этой точке, расположены по одну сторону от касательной плоскости. Такую точку называют эллиптической. Поверхности, у которых все точки эллиптические, являются выпуклыми криволинейными поверхностями. К ним относятся сфера, тор, эллипсоид, параболоид.(точка А на рис. 10.1, 10.2)

Если касательная плоскость имеет с поверхностью общую прямую или плоскую кривую линию, то точки, принадлежащие этой линии, называются параболическими. Такие точки имеют цилиндр, конус, торс (касательная прямая), тор (касательная окружность m1). (рис. 10.2)

Рисунок 10.2

Если касательная плоскость имеет с поверхностью общую точку, но при этом пересекает поверхность по двум линиям, то такую точку называют гиперболической. Следовательно, гиперболическая точка принадлежит линии, по которой касательная плоскость пересекает поверхность. Каждый отсек поверхности, все точки которой являются гиперболическими, имеют седлообразную форму (винтовые поверхности, косая плоскость). У однополосного гиперболоида (рисунок 10.3) касательная плоскость Р в точке А пересекает поверхность по двум прямым m и n .

Рисунок 10.3

Геликоиды пересекаются касательной плоскостью по прямой и кривой, а тор по двум кривым. И вообще, тор является уникальной поверхностью, так как на этой поверхности имеются все три вида точек касания А, В и С. (рис. 10.4)

Рисунок 10.4

Горизонтальная плоскость Т касается тора по окружности m (m1,m2) – состоящей из параболических точек С. Эта окружность разделяет тор на две части: внутреннюю и наружную.

Наружная поверхность с точками А состоит из эллиптических точек, так как вся поверхность располагается по одну сторону от касательной плоскости Q.

Внутренняя поверхность с точками В состоит из гиперболических точек, так как касательная плоскость пересекает тор по двум кривым l с точкой самопересечения В.

Построение касательных плоскостей к поверхностям является основой теории теней. Касательными плоскостями пользуются для определения наиболее близких и удаленных точек от плоскостей проекций. Касательные плоскости применяют при построении очертаний поверхностей.

При построении касательной плоскости всегда задают некоторые условия для ее проведения. Возможны следующие шесть видов задач. Построить плоскость, касательную к поверхности и проходящую:

а) через точку на поверхности;

б) через точку вне поверхности;

в) через линию (прямую или кривую) на поверхности;

г) через прямую вне поверхности;

д) параллельно данной прямой;

е) параллельно данной плоскости.

В решении задач на построение касательных плоскостей часто используется известное положение – касательная к кривой в пространстве проецируется в касательную в проекции кривой.

Рассмотрим примеры построения касательных плоскостей к различным поверхностям.

По форме образующей, поверхности вращения бывают с прямолинейной и с криволинейной образующей.

1) Поверхности, образованные вращением прямой линии.

 а). Если образующая прямая параллельна оси вращения, то она описывает поверхность прямого кругового цилиндра.

 б). Если образующая пересекает ось вращения, то получается поверхность прямого кругового конуса.

  в). Если ось и образующая – скрещивающиеся прямые, то образуются поверхность однополостного гиперболоида вращения.

 2) Поверхности вращения, образованные вращением окружности или её дуги:

 а) сфера – образующая окружность вращается вокруг оси, проходящей через её центр;

 б) тор – окружность вращается вокруг оси, не проходящей через её центр.

Принадлежность точки поверхности вращения определяется при помощи параллели, проходящей через эту точку.

При построении линии пересечения поверхности вращения проецирующей плоскостью исходим из того, что одна проекция линии пересечения известна, она совпадает со следом плоскости. Задача по определению второй проекции линии пересечения сводится к многократному нахождению второй проекции точек линии пересечения.

В результате сечения конуса проецирующей плоскостью могут быть получены такие плоские кривые, как окружность, эллипс, парабола и гипербола, которые получаются при определенном положении секущих плоскостей.


на главную