Примеры задач по математике Основы расчета и проектирования деталей и узлов машин Начертательная геометрия Курс лекций и практических занатий по черчению Базовый курс по электротехнике

Начертательная геометрия

Пересечение поверхностей призм и пирамид.

В приемах построения проекции линии пересечения двух прямых призм много общего с построением линий пересечения двух цилиндров. Если ребра двух призм взаимно перпендикулярны (рисунок 11.33) линия пересечения призм строится следующим образом.

Рисунок 11.33

В данном случае горизонтальная и профильная проекции линии пересечения совпадаю соответственно с горизонтальной проекцией пятиугольника (основание одной призмы) и с профильной проекцией части четырехугольника (основание другой призмы). Фронтальную проекцию ломанной линии пересечения строят по точкам пересечения ребер одной призмы с гранями другой.

Например, взяв горизонтальную 11 и профильную 12 проекции точки 11 пересечение ребра пятигранной призмы с гранью четырехгранной и пользуясь известным приемом построения, с помощью линии связи можно легко найти и фронтальную проекцию 12 точки 11, принадлежащей линии пересечения призмы.

Изометрическая проекция линии пересечения двух призм может быть построена по координатам точек этой линии.

Рисунок 11.34

Например, изометрию двух точек 5´ и 5´1, симметрично расположенных на левой грани пятигранной призмы, строят так. Принимая для удобства построений за начало координат точку о´, лежащую на верхнем основании пятигранной призмы, откладываем в лево от о´ по направлению, параллельному изометрической оси о´х´, отрезок о´Е´, равной координате х5, взятой с комплексного чертежа на фронтальной или горизонтальной проекции. Далее из точки Е´ вниз параллельно оси o´z´ откладываем отрезок Е´F´, равный второй координате z5 = a, и, наконец, от точки F´ влево и вправо параллельно оси о´y´ откладываем отрезки F´5´ и F´5´1, равные третьей координате у5 = .

Далее от точки F´ параллельно оси о´x´ откладываем отрезок n, взятый с комплексного чертежа. Через его конец проводим прямую, параллельную оси о´y´, и откладываем на них отрезок, равный с. Вниз параллельно оси о´z´ откладываем отрезок, равный b, и параллельно о´y´ - отрезок, равные к. В результате получаем изометрию основания четырехгранной призмы.

Точки 1´ и 4´ на ребрах пятигранной призмы можно построит используя только одну координату z.

Построение теней в аксонометрии.

Основные правила построения теней, изложены в методе ортогонального проецирования, остаются в силе и при построении теней в аксонометрических проекциях. Направление лучей света может быть выбрано произвольно, но с соблюдением условий правдоподобности. Лучи не должны быть слишком пологими или слишком крутыми, лучшим углом наклона луча света к горизонту можно считать 30…400. Так же направление лучей может быть взято параллельно диагонали куба, построенного на аксонометрических осях x,y,z . При выборе направления лучей света задается первичная и вторичная проекции луча.

В аксонометрических проекциях так же различают тени собственные и тени падающие.

Тень от точки. Перед построением тени от точки в аксонометрии необходимо задаться направлением светового луча S в пространстве и вторичной его проекции S1.

Для построения тени через аксонометрическую проекцию Т точки А проводим луч параллельно заданному S, а через вторичную проекцию А´1 проводим прямую, параллельную вторичной проекции луча S1. Точка пересечения лучей будет тенью от точки А (рисунок 11.35).

Рисунок 11.35

В зависимости от расположения точки в пространстве тень может падать на горизонтальную плоскость (рисунок 11.35) или на вертикальную (рисунок 11.36), фронтальную или профильную.

Рисунок 11.36

Если тень от точки А´ будет падать на наклонную плоскость (рисунок 11.37), например на плоскость α, то тень найдется в результате построения точки пересечения луча S с плоскостью α.

Рисунок 11.37

Для этого следует: заключить луч S в горизонтально – проецирующую плоскость β (S‹β);

найти линию пересечения МN плоскостей α и β, тогда точки пересечения луча S с линией пересечения МN даст тень от точки А на плоскость α.

Тень от отрезка прямой линии. Рассмотрим построение тени прямой общего положения АВ. Зададимся аксонометрическими осями Х,Y, Z, прямой А´/В´ общего положения с ее вторичной проекцией А´1/B´1, а так же направлением светового луча S и его вторичной проекцией S1 (рисунок 11.38).

Рисунок 11.38

Для нахождения падающей тени проводим через отрезок прямой лучевую плоскость и находим ее след на горизонтальной или на фронтальной плоскости проекции. Для этого через точки А1 и В1 проводим лучи и находим следы (тени) этих лучей АТ1 и ВТ1. Из построения видно, что тень от точки В легла на горизонтальную плоскость, а тень от точки А легла за пределами вертикальной плоскости, и на пересечении с осью Y будем иметь точку перелома тени Т. Теперь найдем тень от точки А на вертикальной плоскости, для этого из точки АY восставим перпендикуляр до пересечения его с лучом, идущим из точки А. точка пересечения и будет тенью от точки А на профильной плоскости. Найдем точку соединяем с точкой перелома К.

В аксонометрических проекциях, так же как и в ортогональных проекциях, могут иметь место различные положения прямой в пространстве. Если прямая будет расположена ближе к горизонтальной плоскость то и тень от нее не упадет на горизонтальную плоскость, а при расположении отрезка ближе к фронтальной (вертикальной) плоскости вся тень упадет на фронтальную плоскость.

В зависимости от коэффициентов искажения аксонометрические проекции могут быть 

1) изометрическими, коэффициенты искажения по всем осям равны между собой т.е., KZ=KX=KY;

2) диметрическими, коэффициенты искажения по двум осям равны, а по третьей отличаются от первых двух KX'= KZ ' ; Kу'≠ KZ ' ≠ Kх'; 

3) триметрическими все три коэффициенты искажения различны т.е.

KX'≠KZ'≠KY'.

При построении параллельной аксонометрической проекции можно произвольно выбрать картинную плоскость и направление проецирование. Немецкий геометр К. Польке доказал в 1853 г. следующую теорему: «Три произвольно выбранных отрезка на плоскости П´, выходящие из одной точки, представляют параллельную проекцию трёх равных и взаимно перпендикулярных отрезков, выходящих из некоторой точки пространства».

На основании теоремы Польке системы аксонометрических осей, а так же коэффициенты искажения по ним могут быть заданы совершенно произвольно.

Согласно ГОСТ 2.317-69 из прямоугольных аксонометрических проекций рекомендуется применять прямоугольные изометрию и диметрию.

В прямоугольной изометрии искажение по всем осям равны 0,82 и аксонометрические оси расположены под углом 120º.

На практике при построении изометрических изображений коэффициент берут равным единице. В этом случае получаются изображения, увеличенные в 1,22 раза.

Лекция №6.

Поверхности вращения. Цилиндр. Конус. Сфера. Точки на поверхностях вращения, сечение проецирующими плоскостиями.

Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением линии вокруг некоторой неподвижной прямой. Неподвижная прямая называется осью вращения поверхности, а вращающаяся линия – образующей.

Самая большая параллель называется экватором, самая малая - горлом. Плоскость, проходящая через ось поверхности вращения, называется меридианальной, а линия, по которой она пересекает поверхность - меридианом. Меридианальную плоскость параллельную плоскости проекции принято называть главной меридианальной плоскостью, а линию её пересечения с поверхностью вращения – главным меридианом.

Теорема Польке. При построении параллельной проекции можно произвольно выбрать плоскость проекций П и направление проецирования.

Построение аксонометрических изображений. Построение в изометрической проекции плоских фигур.

Построение окружности в диметрической проекции. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекции, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в эллипсы.

Тени от геометрических тел. От любого геометрического тела можно построит в той или иной аксонометрической проекции падающую тень, а на самом теле найти его собственную тень. На рисунке 11.39, 11.40 построены кубы в прямоугольной изометрии и диметрии, найдены падающие тени и показаны тени собственные.


на главную