Примеры задач по математике Основы расчета и проектирования деталей и узлов машин Начертательная геометрия Курс лекций и практических занатий по черчению Базовый курс по электротехнике

Начертательная геометрия

ПОСТРОЕНИЕ ТЕНИ ОТ ПРЯМОЙ

Падающая тень от прямой линии состоит из падающих теней от всех ее точек. Совокупность лучей, проходящих через все точки прямой, в пространстве образует лучевую, (световую) плоскость. Поэтому тень от прямой линии есть прямая пересечения лучевой плоскости с плоскостью, на которую падает тень (рис. 12.8).

При построении тени прямой АВ достаточно построить тень от двух точек, принадлежащих этой прямой (точки А1т, В1т, рис.12.9). Соединяя тени точек прямой, получим тень прямой АВ.

Рис. 12.8

Рис.12.9

В ряде случаев тень от прямой может падать одновременно на две (или более) плоскостей. В этом случае она будет преломляться на линиях пересечения заданных плоскостей.

Пусть необходимо построить проекции падающей тени от отрезка СД (рис. 12.10). Построив проекции тени от точек С и Д, видим, что тень от отрезка СД падает на две плоскости проекций П1 и П2 и представляет собой ломаную линию. Для построения этой линии необходимо построить тень от любой промежуточной точки К отрезка СД. Построив тень Д1тК1т от отрезка ДК продолжив ее до пересечения с осью Х в точке Ет, найдем точку преломления тени. Зная точку Ет , достроим тень от отрезка СД на плоскость проекций П2, т.е. участок ЕтС2т.

Тень от прямой, одновременно падающую на две плоскости проекций, можно построить и другим способом (рис.12.11). Строим тени точек М и N. Тень М1т точки М лежит в горизонтальной плоскости проекций П1. Тень N2т от точки N будет падать на фронтальную плоскость П2. Для построения точки преломления тени на оси Х найдем мнимую тень точки N на плоскость проекций П1, точка (N1т). Полученную точку (N1т) соединим с точкой М1т и в пересечении этого отрезка с осью Х находим точку Кт как точку преломления тени. Зная точку Кт, построим ту часть тени, которая падает на плоскость П2, т.е. участок КтN2т.

Рис.12.10

Рис.12.11

Если прямая параллельна плоскости проекций, на которую падает тень, то тень на эту плоскость будет параллельна заданной прямой и равна ей по величине. На рис. 12.12,а дан пример построения горизонтальной проекции тени А1тВ1т, падающей на горизонтальную плоскость проекций от прямой АВ. Поскольку прямая АВ параллельна горизонтальной плоскости проекций П1, тень А1тВ1т от нее на эту плоскость параллельна горизонтальной проекции А1В1 прямой АВ и равна ей по величине.

Рис. 12.12

Если прямая СД перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П1, то ее тень на горизонтальной плоскости проекций Д1тЕт совпадает с горизонтальной проекцией светового луча, а на фронтальной ЕтС2т– параллельна самой прямой. На рис. 12.12,б дан пример построения тени прямой СД, падающей на горизонтальную и фронтальную плоскости проекций.

Если прямая КМ перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П2, то ее тень К2тNт совпадает с фронтальной проекцией светового луча, а на горизонтальной NтМ1т – параллельна самой прямой. На рис.12.13,а показано построение тени прямой КМ, падающей на горизонтальную и фронтальную плоскости проекций.

Рис. 12.13

Тень от прямой ЕF, параллельной плоскостям проекций П1 и П2, Будет располагаться параллельна самой прямой и находится на той плоскости проекций, к которой прямая ближе, или, если расстояние отрезка в пространстве одинаковое от плоскостей проекций, то ее тень упадет на ось Х (рис.12.13,б).

Из рассмотренных примеров можно сделать вывод, что падающие тени от прямых, параллельных плоскостям проекций, будут параллельны самим прямым на той плоскости, которой данные прямые параллельны.


ПОСТРОЕНИЕ ТЕНИ ОТ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

При построении падающей тени от плоской фигуры считают, что плоская фигура непрозрачна. Построение падающей тени от любой плоской фигуры сводится к построению падающих теней всех ее точек.

Рассмотрим пример построения тени плоского треугольника (рис.12.14), сторона ВС которого, лежит в горизонтальной плоскости проекций П1. В тех случаях, когда точка или прямая расположена в плоскостях проекций, задача несколько упрощается тем, что теней от этих точек и прямых строить не надо, в этом случае эти точки и прямые сами являются тенью. Для построения тени от данного треугольника надо найти тень только от точки А и соединить ее с горизонтальными проекциями точек В и С.

Рис.12.14 Рис.12.15

По общему правилу находим тень от точки А, которая падает на фронтальную плоскость проекций П2. Полученную тень А2т соединить с горизонтальными проекциями точек В и С нельзя, т.к. точки лежат в разных плоскостях проекций. Поэтому находим мнимую тень точки А на горизонтальной плоскости, предполагая, что плоскость П2 прозрачна, – точка (А1т). Найденную точку соединяем с основанием треугольника В1С1, в пересечении с осью Х находим точки преломления 1 и 2 тени треугольника, откуда тень перейдет на фронтальную плоскость проекций в точку А2т.

В следующем примере (рис.12.15) рассмотрим построение тени четырехугольника АВСД общего положения. Для построения тени этого четырехугольника необходимо построить тени от каждой его вершины. Тени от точек В – В2т и С – С2т упали на фронтальную плоскость проекций П2, а от точек А- А1т и Д – Д1т тени падают на горизонтальную плоскость проекций П1, поэтому их можно соединить между собой. Тени от точек, лежащих в разных плоскостях проекций, соединять нельзя. Поэтому тени от прямых АВ и СД будут с преломлением. Для того, чтобы найти точки преломления теней этих прямых, строим мнимые тени точек В - (В1т) и С - (С1т) на горизонтальной плоскости проекций. Соединив точку АП1т с (В1т) и Д1т с (С1т) в прямые линии находим в пересечении этих прямых с осью Х точки преломления тени 1 и 2. Фигура А1т1В2тС2т2Д1т и будет тенью четырехугольника АВСД.

Если плоская фигура параллельна плоскости проекций, на которую падает тень, то тень равна и расположена подобно самой фигуре. На рис.12.16 построена падающая тень от окружности, плоскость которой параллельна горизонтальной плоскости проекций П1. Для построения тени от этой окружности на параллельную ей плоскость достаточно построить тень от ее центра Е и провести окружность радиусом R.

Рис.12.16

Рис.12.17

На рис. 12.17 показано построение тени от окружности, расположенной параллельно фронтальной плоскости проекций. Для той части тени, которая падает на фронтальную плоскость проекций, достаточно найти тень от центра окружности и из него провести окружность радиусом равным радиусу заданной окружности. Та тень, которая падает на горизонтальную плоскость проекций, будет изображаться в виде эллипса. Для построения этой части тени окружность разбивают на 8 или 10 частей и строят тени этих точек, затем плавно соединяют эти точки.

Плавный переход одной окружности в другую может происходить или непосредственным касанием, или через третий элемент - дугу окружности.

Касание двух окружностей может быть внешним (рисунок 22, а) или внутренним (рисунок 23 а).

Внешнее касание. При внешнем касании двух окружностей расстояние между центрами этих окружностей будет равно сумме их радиусов (рисунок 22).

Например, требуется построить плавный переход от окружности радиуса R к окружности радиуса R1 с внешней стороны, точка касания не задана. К окружности радиуса R можно построить множество касательных окружностей радиуса R1 с внешним касанием (рисунок 22, б). Их центры (О1, О2 и т. д.) будут находиться от центра О на одинаковом расстоянии, т. е. на окружности радиуса R2 =R + R1, проведенной из центра О заданной окружности. Точки касания

К, K1 и т. д. лежат на прямых, соединяющих центры сопрягающихся окружностей (рисунок 22, б).

На рисунке 22, в показано построение внешне-1 го касания двух окружностей с произвольно выбранной точкой касания К.

 


 а) б) в)

 Рисунок 22


на главную