Примеры задач по математике Основы расчета и проектирования деталей и узлов машин Начертательная геометрия Курс лекций и практических занатий по черчению Базовый курс по электротехнике

Начертательная геометрия

Метод обратных лучей

На рис. 12.18 даны плоская фигура АВС и отрезок ДЕ. Необходимо построить тень отрезка ДЕ на плоскость треугольника АВС. При построении можно воспользоваться методом обратного луча. Для этого предварительно построим тень от треугольника АВС на горизонтальную плоскость проекций П1. Вслед за этим строим тень на горизонтальную плоскость проекций от отрезка ДЕ. В точке Fт тень от прямой пересекается с тенью от стороны треугольника АС. В точке Rт продолжение тени от отрезка ДЕ пересекается с тенью от стороны ВС. Проведем из точек F1т и R1т лучи света в обратном направлении до пересечения с соответствующими сторонами треугольника в точках Fт и Rт . Через эти точки проходит тень от прямой ДЕ на плоскости АВС. Отметим пересечение этой линии с лучом света, проходенным через точку Е. Отметим пересечение этой линии с лучом света, проходящим через точку Е.

Рис. 12.18

Освещенность отсека плоскости. Определим освещенность самого треугольника АВС. Для этого воспользуемся конкурирующими точками N и G (точка G принадлежит лучу света, проходящему через точку Е, а точка N - стороне АВ). При взгляде спереди точка G ближе к зрителю, следовательно, лучи света падают на треугольник со стороны зрителя и он видит освещенную сторону треугольника. Возьмем конкурирующие точки на луче (V) и на стороне АВ (L). При взгляде сверху мы вначале видим точку L , а затем уже точку V. Следовательно, лучи падают на плоскость треугольника с противоположной относительно зрителя стороны плоскости, и мы видим ее неосвещенную сторону.

Следовательно, чтобы проверить освещенность плоской фигуры, следует провести лучи света и, взяв конкурирующие точки на луче (до его пересечения с плоскостью) и одной из линий фигуры, установить, что ближе к зрителю – луч или линия. Если ближе луч, то фигура освещена, и наоборот.


ПОСТРОЕНИЕ ТЕНЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

При построении проекций теней геометрических тел необходимо различать собственную и падающие тени. Собственная тень будет на неосвещенной части тела, а падающая тень получается на плоскости или другой поверхности вследствие того, что на пути лучей света расположено геометрическое тело.

Определение собственной и падающей теней сводится к нахождению их контуров, т.е. линий, отделяющих освещенную часть поверхности тела от неосвещенной (рис.12.19).

Контуром собственной тени многогранника является ломаная линия АтКтЕтДтСтВт , контур падающей тени проходит через точки АКЕДВС.

Контуром собственной тени сферы будет окружность, которая получится в сечении сферы плоскостью, перпендикулярной к лучам света и проходящей через центр.

Рис. 12.19

При построении теней геометрических тел вначале определяют контур собственной тени, затем находят контур падающей тени путем построения теней от вершин и сторон ломаной линии или точек кривой линии, являющейся контуром собственной тени.

В отдельных случаях бывает целесообразно определять контур собственной тени по уже построенной падающей тени, если ее построить от всех точек и линий геометрического тела.

Указанные приемы и положены в основу построения собственных и падающих теней геометрических тел.

Рассмотрим процесс построения проекций собственных и падающих теней от основных геометрических тел.

Тени призмы. Контур тени от призмы определяется тенями ее ребер (рис. 12.20).

Рис. 12.20 Рис. 12.21

Для определения контура собственной тени призмы необходимо установить освещенность ее граней. Так как боковые грани призмы перпендикулярны к плоскости П1 , то их освещенность легко определить по горизонтальной проекции (рис. 12.21), где видно, что обращенными к свету являются две грани АА1Д1Д и ДД1С1С. Кроме того, освещено верхнее основание призмы. Таким образом, контуром собственной тени является ломаная АА1В1С1СДА, от которой построена тень, падающая на плоскости проекций П1 и П2 по правила изложенным в разделе 12.3.

Тень пирамиды. На рис 12.22 показано построение тени от пятиугольной пирамиды. Боковые грани пирамиды не являются горизонтально-проецирующими плоскостями, как у призмы, поэтому определить их освещенность по горизонтальной проекции без дополнительных построений не всегда возможно. Так если грани АSВ АSЕ явно обращены к свету, а грань ДSС находится в тени, то относительно граней ЕSД и ВSС определенный ответ можно получить только в результате соответствующих построений.

Рис. 12.22

Если тень пирамиды падает одновременно на две плоскости проекций П1 и П2 , то она будет иметь излом. В этом случае необходимо вначале построить тень от вершины S, найдя действительную S2т и мнимую (S1т) тени, а затем зная точки 1 и 2, которые получим проведя прямые S1тВ1 и S1тД1, определить контур падающей тени Д11S2т2В1С1Д1 и решить вопрос об освещенности отдельных граней пирамиды.

Тени цилиндра. Чтобы построить тени поверхности цилиндра (рис. 12.23), необходимо провести к этой поверхности касательные плоскости (построение касательных плоскостей см. раздел 10.1), параллельные направлению лучей света, и найти линии касания – образующие цилиндра. Вдоль этих образующих пройдет контур собственной тени.

В частном случае, когда образующие цилиндра перпендикулярны к одной из плоскостей проекций, касательные лучевые плоскости являются проецирующими.

Рис. 12.23

Контур собственной тени цилиндра проходит вдоль образующих АК и ВL и замыкаются сверху полуокружностью АЕСДВ верхнего основания. Образующие АК и ВL найдены как линии касания к поверхности цилиндра лучевых плоскостей Р и S.

Контур падающей тени от цилиндра состоит из падающих теней образующих АК и ВL и полуокружностей АЕСДВ и АRВ. Падающие тени образующих АК и ВL определяются с помощью следов Р1 и S1, Р2 и S2 касательных лучевых плоскостей Р и S. Тени, падающие от полуокружностей АЕСДВ и АRВ, строятся, как было описано в разделе 12.4.

Решение упрощается, если тень от цилиндра падает только на одну плоскость проекций. В этом случае падающая тень верхнего основания цилиндра ограничена окружностью, проведенной из точки О1т как из центра радиусом R, равным радиусу основания цилиндра.

Тени конуса. На рис. 12.24 построены собственные и падающие тени конуса.

Рис. 12.24

Для построения необходимо провести к поверхности конуса касательные плоскости, параллельные лучам света, и определить линии касания. Вдоль этих линий, являющихся образующими конуса, пройдет контур собственной тени конуса. Практически построение выполняется так. Вначале определяют мнимую тень (S1т) , падающую от вершины конуса на плоскость его основания П1. Затем из полученной точки проводят прямые, касательные к основанию конуса, и определяют точки касания А и В. через точки касания А и В проводят образующие конуса SА и SВ, которые вместе с дугой основания АМВ образуют контур собственной тени конуса.

Касательные S1тА и S1тВ к основанию конуса являются линиями контура падающей тени конуса. Падающая тень конуса имеет точки излома на осиХ.

Внутреннее касание. При внутреннем касании двух окружностей одна из касательных окружностей находится внутри другой окружности, и расстояние между центрами этих окружностей будет равно разности их радиусов (рисунок 23).

Сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса может быть внешним, внутренним и смешанным.

Внешнее сопряжение двух заданных окружностей дугой заданного радиуса. Даны две окружности радиусов R и R1, (рисунок 24, а), требуется построить внешнее сопряжение дугой радиуса R2. Известно, что для окружности радиуса R центр дуги сопряжения находится на линии центров, проведенной суммой радиусов R + R2 из центра О. Для окружности радиуса R1 центр дуги сопряжения лежит на линии центров, проведенной радиусом R4 = R1 + R2 из центра O1. Эти окружности (линии центров) проводят не полностью, а только до взаимного пересечения в точке О2 (рисунок 24, а). Точка О1 будет центром дуги сопряжения. Точка сопряжения лежит .на прямой, соединяющей центр дуги сопряжения с центром заданной окружности, поэтому, соединяя точку О2 с точками О и О1 (рисунок 24, б), в пересечении с заданными окружностями получают точки сопряжения К и K1. Из точки O1 радиусом R2 от точки К до точки К1 проводится дуга сопряжения.

Внутреннее сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса. Сопрягаемые окружности располагаются внутри сопрягающей дуги, и центр сопрягающей дуги будет находиться от центров заданных окружностей на расстоянии, равном разности радиусов (дуги и соответствующей окружности).

 


Рисунок 24

Даны две окружности с радиусами R и R1 (рисунок 25, а), требуется построить внутреннее сопряжение дугой радиуса R2 в верхней части. Известно, что для окружности радиуса R центр дуги сопряжения находится на линии центров, проведенной радиусом R3 = R2 — R из центра О заданной окружности. Для окружности радиуса R1 центр дуги сопряжения находится на линии центров, проведенной радиусом R4 = R2 – R1 из центра O1 заданной окружности. В нижней части чертежа из центров О и O1 радиусами R3 и R4 проводят дуги до взаимного пересечения в точке О2, которая будет центром дуги сопряжения, так как является общей точкой для двух линий центров (рисунок 25, а). Находят точки сопряжения. Для этого точку O2 (центр дуги сопряжения) соединяют с точками О и O1 прямыми линиями, которые продлевают до пересечения с заданными окружностями в точках К и К1, которые будут точками сопряжения (рисунок 25, б).


на главную