Примеры задач по математике Основы расчета и проектирования деталей и узлов машин Начертательная геометрия Курс лекций и практических занатий по черчению Базовый курс по электротехнике

Начертательная геометрия

В разработанном курсе лекций рассмотрены основные разделы курса Начертательная геометри Лекции включают в себя сведения о методах проецирования, о образовании проекций точки, прямой линии, плоскости и их взаимном положении. Рассмотрены способы преобразования чертежа, построение многогранников и кривых поверхностей, пересечение кривых и гранных поверхностей прямой линией и плоскостью, Даны сведения об аксонометрических проекциях.

В число дисциплин, составляющих основу инженерного образования, входит начертательная геометрия. Некоторые идеи начертательной геометрии были разработаны еще в 1б-17в.в., но в самостоятельную науку начертательная геометрия оформилась в конце 18в, в связи с возросшими потребностями инженерной практики.

В 1798 году французский инженер Гаспар Монж опубликовал свой труд, «Начертательная геометрия» который лег в основу проекционного черчения.

В российских учебных заведениях систематическое преподавание начертательной геометрии началось с 1810 года, вначале на французском, а затем и на русском языке, В 1821 году профессор Я,С. Севастьянов издает курс «Основания начертательной геометрии».

В 1855 году профессором А.Х.Ребером написана книга по теории проекции с числовыми отметками.

Выдающийся вклад в теорию геометрии внесли русские математики Н И.Лобачевский (1792-1856 г.г.) и Л.Л.Чебышев (1821-1894 г.г,). В дальнейшем развитие начертательной геометрии как науки и учебной дисциплины; принадлежит многим советским ученым и педагогам.

Предмет изучения начертательной геометрии - разработка методов построения и чтения чертежей, а также методов решения на чертежах геометрических задач, связанных с оригиналом.

Правила построения изображений, излагаемых в начертательной геометрии, основаны на методе проекции.

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛИКА

Для краткой записи геометрических предложений, алгоритмов решения задач и т.д. используется геометрический язык. 1. Точки обозначаются заглавными латинскими буквами:

A,B,C,D…

арабскими цифрами: 1, 2, 3,4…

последовательность точек: A1, A2, Аз.

2. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекции, обозначаются строчными буквами латинского алфавита: а, Ь, с, d...

3. Углы - строчными буквами греческого алфавита: ф, ц, р, v.

4. Плоскости - строчными буквами греческого алфавита:a,b,g,e,s.

5. Поверхности - прописными буквами русского алфавита:

цилиндр - Ц, конус - К...

6. Плоскости проекций

горизонтальная - Н, фронтальная - V, профильная - W,

7. Возможное обозначение плоскостей проекций - строчной буквой греческого алфавита -p; горизонтальная - p1, фронтальная - p2. профильная - p3.

8. Оси проекций - строчными буквами:

о- начало координат;

х- ось абсцисс;

у- ось ординат;

z- ось аппликат.

9. Проекции точек:

на горизонтальную плоскость Н- А', В', С',
на фронтальную плоскость V- А", В", С"...
на профильную плоскость W- А///, В///, С///...

10. Проекции линий - по проекциям точек, определяющих линию;кроме того, горизонталь- h; фронталь- f; профильная линия- р.

Символика

е - принадлежит (2ÎN) два принадлежит N

Ì- - включает, содержит (а Ì- а) прямая а принадлежит плоскости a

È - объединение множеств |АВ| È ½ВС| - ломаная АВС

Ç - пересечение множеств

=>• импликация - логическое следствие (а // с и b // с) => а // Ь- [если

а // b и b // с, то а // b]

~- подобие

=- совпадают

|| - параллельны

^ - перпендикулярны

¸- - скрещиваются

—>•- преобразуется: a®a1

 

1. ВИДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Существует несколько видов проецирования.

Проекции центральные, - когда задается плоскость про-екции и центр проекции точки, не лежащей в этой плоскости(рис. 1.1).

Рис. 1.1 Рис. 1.2

1.1. Параллельное проецирование

Параллельной проекцией точки будем называть точку пересечения проецирующей прямой, проведенной параллельно заданному направлению, с плоскостью проекции (рис. 1.2).

Параллельные проекции также называют цилиндрическими, которые в свою очередь делятся на: косоугольные и прямоугольные.

В параллельных проекциях, так же как и в центральных:

1) для прямой линии проецирующей поверхностью в общем случаеслужит плоскость, и поэтому прямая линия вообще проецируется в виде прямой;

2) каждая точка и линия в пространстве имеют единственную своюпроекцию;

3) каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией множества точек, если через них проходит общая для них проецирующая прямая;

4) каждая линия на плоскости проекций может быть проекцией множества линий, если они расположены в общей для них проеци-рующей плоскости;

5) для построения проекции прямой достаточно спроецировать две ее точки и через полученные проекции этих точек провести прямую линию,

6) если точка Î прямой, то проекция точки принадлежит проекции этой прямой; (рис. 1.3) точка К принадлежит прямой (проекция К0 принадлежит проекции этой прямой),

7) если прямая (АВ) параллельна направлению проецирования, то проекцией прямой является точка А°, она же В° (рис. 1.3),

8) отрезок прямой линии, параллельной плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в натуральную величину (CD = C°D° , как отрезки параллельных прямых между параллельными прямыми), (рис. 1.3).

Рис. 1.3

В данном курсе преимущественно рассматриваются прямоугольные проекции (слово прямоугольные часто заменяют на ортогональные, образованное от греческих слов прямой и угол).

Точка.

Точка относится к основным неопределяемым понятиям геометрии. Точка не имеет размеров; это основной геометрический элемент линии и поверхности.

Положение точки (и любой геометрической фигуры) в пространстве может быть определено, если будет задана координатная система отнесения. Наиболее удобная является декартовая система координат (французский философ, математик Декарт 1596 - 1650 г.) состоящая из трех взаимно перпендикулярных плоскостей, при этом получается восемь октантов (рис. 1.4).

7

Рис. 1.4 

  Рис. 1.5

Преобразование в эпюр осуществляется совмещением плоскостей путем вращения (рис. 1.5), Или условно можно принять для построения одну из четвертей.

Рассмотрим принятую систему расположения плоскостей проекций (рис. 1.6).

Условимся называть: плоскость - Н- горизонтальная плоскость проекции, V- фронтальная плоскость проекции, W-профильная плоскость проекции.

Рис. 1.6

1.3. Проецирование точки на две плоскости проекции

Возьмем точку А и поместим в пространство двухгранного угла, образованного двумя перпендикулярными плоскостями: фронтальной- V и горизонтальной- Н (рис. 1.7).

8

Фронтальная плоскость V изображена в виде прямоугольни-ка, а плоскость Н- горизонтальная плоскость в виде параллело-грамма,, Наклонная сторона обычно проведена под углом 45° к горизонтали.

Рис. 1.7

Из точки А опускаем перпендикуляр на плоскости [АА'; АА" - проецирующие лучи].

Точки А', А" (рис. 1.7) пересечений с плоскостями проекций V и Н являются прямоугольными проекциями точки А, а полученная фигура в пространстве АА' АхА" - прямоугольник.

Если совместим плоскость Н с плоскостью V путем вращения вокруг линии пересечения плоскостей X, то получается комплексный (плоский) чертеж (эпюр Монжа) точки А.

Рис. 1.8

 

Для упрощения комплексного чертежа границы плоскостей не указываются. Линия пересечения плоскостей V фронтали и Н горизонтали называют осью проекции (рис, 1.9),

Рис. 1.9

  Перпендикуляры, проведенные из точки А к плоскостям проекций, называются проецирующими линиями, а основания этих проецирующих линий точки А' и А"' - называются проекциямиточки А. А - горизонтальная проекция точки А и А"- фронтальная проекция точки А.

 

 

1.4. Расположение точек на комплексном чертеже

 Расположение проекции точки на комплексном чертеже

зависит от положения точки в пространстве (рис. 1.10).

Рис. 1.10

10

Если точка А — лежит на плоскости Н, то ее горизонтальная проекция совпадает с точкой А, а фронтальная с осью х.

Соответственно точка В лежит на V плоскости, то ее фрон-тальная проекция совпадает с точкой В, а горизонтальная лежит на оси х , Если точка С лежит на оси х, то проекции С', С" сов-падают с точкой С.

1.5.Проецирование точки на три плоскости проекции

В тех случаях, когда по двум проекциям нельзя представить форму предмета, его проецируют на три плоскости (рис. 1.11), т.е. вводится W- профильная плоскость, она перпендикулярна двум имеющимся, (Н и V).

Рис. 1.11

Для получения комплексного чертежа точки А вращаем плоскости вокруг осей х; z. Он будет выглядеть следующим об- разом, Расстояние (координата) точки А до плоскости Н будет равна ОАх.

Координата точки А до V равна ОАу. Координата точки А до W равна OAz. А=х,у; А" = x.z; А / = y,z.

По двум проекциям точки, находящихся в проекционной связи, можно определить все три координаты точки.

11

Если заданы координаты точки А (ха, ya, 2.л) то можно по-строить три проекции этой точки. На рис. 1,12 представлен ком-плексный чертёж точки А к рис. 1.11,

Рис. 1.12

2. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ЛИНИИ

2.1 Проецирование прямой линии на две и три плоскости проекции.

Прямая линия в пространстве вполне определяется положением двух любых точек, принадлежащих этой прямой (траектория перемещения точки), рис. 2.1.

 Рис. 2.1 Рис. 2.2

12

При проецировании прямой линии проецирующие лучи всех

точек прямой располагаются в одной плоскости, которую назы-вают проецирующей. Эта плоскость пересекает плоскость про-екции по прямой линии.

Для того, чтобы построить эпюр прямой линии, достаточнодостроить проекции двух лежащих на ней точек и провести че-

рез соответствующие проекции точек проекции прямой.

Если прямая не перпендикулярная, и не параллельная ни од-ной из плоскостей проекции, то такая прямая называется,прямой общего положения (рис.2.2),

В дальнейшем мы будем изображать пересечение коорди-натных плоскостей только осями.

2.2.Положение прямой линии относительно плоскостипроекции

Если прямая в пространстве параллельна какой - либо плоскости проекции, то такая прямая называется прямой частного положения.

Прямая линия может занимать относительно плоскостей проекций особые (частные) положения. Рассмотрим их по сле-дующим двум признакам;

1.Прямая параллельна одной плоскости проекции (прямые уровня рис.2.3, 2.4, 2.5).

2.Прямая параллельна двум плоскостям проекции (проецирую-щие прямые рис.2.6, 2.7, 2.8).

Прямая параллельная горизонтальной тоскости проекции (Н), называется горизонталью и обозначается h (рис.2.3.), (z-const).

Рис.2.3


Особенности горизонтали: все точки горизонтали удалены на одинаковое расстояние от плоскости Н.

Фронтальная проекция прямой параллельна оси проекции и горизонтальная проекция отрезка этой прямой равна самому отрезку А'В' = АВ – (натуральная величина), А»В'' параллельна оси х А»'В'» параллельна оси у.

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекции на-

зывается фронталью – f (рис.2.4), (y-const).

Рис. 2.4.

14

Профильная прямая р- прямая параллельная профильной плоскости проекции W (x-const), рис. 2.5.

Профильная проекция отрезка прямой равна самому отрезку E'"F"'= EF; E'F' параллельна оси у; E"F" параллельна оси z. Проецирующими прямыми - называются такие прямые,

которые перпендикулярные плоскостям проекций (рис. 2.6, 2.7, 2.8). Прямая, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекции, называется фронтально - проецирующей прямой (рис.2.6),


Фронтальная проекция отрезка прямой равна самому отрезку

(C'D"= CD).

C'D' параллельна оси х.

C'"D'" параллельна оси z.

Рис. 2.5.

Рис. 2.6.

Прямая перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекции называется горизонтально - проецирующая прямая

(рис.2.7).


Прямая перпендикулярная к профильной плоскости проекции называется профильно - проецирующая прямая (рис.2.8).

Рис. 2.8.

2.3.Взаимное положение двух прямых на комплексном чертеже

Если через данную точку А требуется провести прямую, параллельную данной прямой LМ,то построение сводится к проведннию через точку А прямой, параллельной L"M", и через точку А' прямой параллельной L'M', рис.2.9 а.

16

В случае, изображенном на рис.2.9 б, параллельные прямые расположены в общей для них проецирующей плоскости, перпендикулярной к пл.Н, Поэтому горизонтальные проекции этихпрямых расположены на одной прямой.

Если прямые пересекаются в точке К, то их проекции тоже пересекаются, при этом проекции точки К' и К" расположены на одном перпендикуляре (рис.2.10).

Действительно, если точка К принадлежит обеим прямым АВ и CD, то проекция этой точки должна быть точкой пересечения проекций данных прямых,

Заключение о том, что данные на чертеже прямые пересекаются между собой, можно сделать всегда по отношению к пря-мым общего положения, независимо от того, даны ли проекциина трех или двух плоскостях проекций, необходимым и достаточным условием является лишь то, чтобы точки пересечения одноименных проекций находились на одном и том же перпендикуляре к соответствующей оси проекций (рис.2.11) или. на чертеже без оси проекций (рис.2,12), эти точки оказались бы налинии связи установленного для нее направления. Но если однаиз данных прямых параллельна какой- либо из плоскостей проекций, а на чертеже не даны проекции на этой плоскости, тонельзя утверждать, что такие прямые пересекаются между со-бой, хотя бы и было соблюдено указанное выше условие, на-пример, в случае, данном на рис.2.13, прямые АВ и CD, из ко-торых прямая CD параллельна плоскости W, не пересекаются между собой; это может быть подтверждено построением профильных проекций или применением правила о делении отрез-ков в данном отношении.


Рис.2.10

Рис.2.11

 а) б)

  Рис.2.9


Если точка пересечения npoeкцuu прямых не расположены на одном перпендикуляре к оси х, то прямые скрещиваются (рис.2.14).

На рис.2.14, 2.15 изображены две скрещивающиеся прямые общего положения: хотя одноименные проекции и пересекаются между собой, но точки их пересечения не могут быть соединены линией связи, то есть прямые не пересекаются между собой.

Рис.2.13. Рис.2.14  Рис. 2.15

2.4.Построение на чертеже натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона прямой к плоскостям проекций

Чтобы определить на эпюре истинную (натуральную) длину отрезка прямой, можно воспользоваться способом прямоугольного треугольника (рис.2.16, 2.1.7),

Прямая АВ - общего положения (то есть, не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций). Поэтому обе ее проекции А'В' и А"В" имеют искажения по сравнению с натуральными размерами.

На рис.2.16 слева, длина отрезка АВ и угол, составленный прямой АВ с плоскостью Н, определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции А'В' при втором катете В'В°,равном В" 1.АВ=А'В°.

Для установления натуральной величины отрезка АВ проводим на одной из проекций (горизонтальной) прямую параллельную оси х.

Полученный отрезок А2 откладываем на перпендикулярно проведенном из точки А" отрезке и полученную точку А° соединяем с В". В результате построений получаем натуральную величину прямой АВ и угол j2, который равен истинному углу наклона прямой АВ к плоскости V.

Отрезки линий уровня - фронтали, горизонтали, профильные проецируются в натуральную величину, соответственно на фронтальную, горизонтальную и профильные плоскости проекции. Во всех остальных случаях отрезки прямых проецируются с искажением.

 Рис.2.16 Рис.2.17

Угол прямой линии с плоскостью проекций определяется как острый угол между этой прямой и ее проекций на данную плоскость (рис. 2.17).

Этот угол входит в тот же прямоугольный треугольник, который строят для Н.В.

Если прямая имеет какую - либо проекцию, равную действительной ее длине, то на комплексном чертеже угол между проекцией этой прямой и плоскостью проекций будет действительным углом прямоугольного треугольника.

Лекция №9.

Развертки многогранников.

 Разверткой поверхности называется фигура, полученная в результате совмещения развертываемой поверхности с плоскостью. Необходимым условием совмещения является отсутствие разрывов и складок на развертке.

Развертка многогранной поверхности получается путем последовательного совмещения всех ее граней с плоскостью .

Способ триангуляции. Построение развертки этим способом рассматривается на примере развертки боковой поверхности пирамиды SABC, рис 10.1.

Определим натуральную величину каждого ребра пирамиды, например, вращением вокруг оси J, проходящей через вершину пирамиды S и перпендикулярной плоскости П1. Для этого повернем ребра пирамиды до положения, параллельного плоскости П2, т.е. A1‌‌‌ S1 ‌‌׀׀X12; S1B1‌‌׀׀X12;S1C1‌‌׀׀X12.

1). Построим фронтальные проекции этих ребер S2A2 ', S2C2', S2B2', которые проецируются в натуральную величину на П2

2).Приступаем к построению развертки. Для этого через произвольную точку S0 проведем прямую а, откладываем от нее отрезок S0A0=S2A2'', из точки A0 проводим дугу R=А0В0=А1В1, а из точки A0 проводим дугу R=S0B0=S2B2', получим точку B0, соединив точки S0,A0,B0 – получим грань пирамиды, аналогично построим остальные грани.

 


на главную