Примеры задач по математике Основы расчета и проектирования деталей и узлов машин Начертательная геометрия Курс лекций и практических занатий по черчению Базовый курс по электротехнике

Начертательная геометрия

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА

Задание прямых линии и плоских фигур в частных положениях относительно плоскостей проекций значительно упрощает построения и решение задач, позволяет получить ответ или не- посредственно по данному чертежу, или при помощи простейших построений. Такое частное взаимное расположение прямых линий, плоских фигур и плоскостей проекций может быть обеспечено преобразованием чертежа. Достигается это:

1) введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия или плоская фигура, не изменяя своего положения в пространстве, оказалась в каком - либо частном положении в новой системе плоскостей проекций (способ перемены плоскостей проекций).

2) изменением положения прямой линии или плоской фигуры, путем поворота вокруг некоторой оси так, чтобы прямая или фигура оказалась в частном положении относительно неизменной системы плоскостей проекций (способ вращения и частный случаи его способ совмещения).

3) изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем перемещения их в частное, положение так, чтобы траектории перемещения их точек находились в параллельных плоскостях при неизменной системе плоскостей проекций (способ параллельного перемещения).

4.1 Способ перемены плоскостей проекций

Сущность способа перемены плоскостей проекций заключается в том, что положение точек, прямых линий, плоских фигур, поверхностей в пространстве остается неизменным, а система Н, V дополняется плоскостями, образующими с Н или с V, или между собой системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций,

Каждая новая система выбирается таким образом, чтобы получить положение наиболее выгодное для выполнения требуемого построения.

4.1.1. Введение в систему Н, V одной дополнительной плоскости проекции

В большинстве случаев дополнительную плоскость в систему Н, V вводят согласно определенному условию, отвечающему цели построения. Примером может служить плоскость V1 на рис.4.1.

Так как требовалось определить величину отрезка АВ и угол между АВ и плоскостью Н, то плоскость Vi расположена перпендикулярно к плоскости Н (образовалась система Н, V1) и параллельно АВ

  Рис.4.1

Следовательно в системе Н, V1 отрезок АВ является фронталью (А'В' || оси X1) и величина A1"B1" равна натуральной величине отрезка АВ, угол f1 равен углу наклона ка АВ к плоскости Н.

 Рис.4.2 Рис.4.3

На рис.4.2 выбор плоскости H1 также подчинен цели: определить угол между прямой CD и плоскостью V, а также натуральную величину отрезка CD. Поэтому плоскость H1 выбрана перпендикулярно V и в тоже время параллельно отрезку CD (ось H1/V || C"D") Следовательно, в системе V, H1 отрезок CD является горизонталью

(C"D" оси V/H1), величина C1'D1' равна натуральной величине

отрезка CD , а угол ф2 равен углу наклона отрезка CD к плоскости V.

В случае, изображенном на рис. 4.3, выбор плоскости H1 вполне зависит от задания.

Необходимо определить натуральный вид треугольника АВС. Так как в данном случае плоскость, определяемая треугольником, перпендикулярна к плоскости V, то для изображения его без искажения необходимо ввести в систему H1, V дополнительную плоскость, отвечающую двум условиям: Н1,V (для образования системы V,Н1) и H1 || АВС (H1 || А"В"С"), что дает возможность изобразить треугольник АВС на плоскости Hiбез искажения. Новая ось V/H1 || А"В"С". Для построения проекции A'1B1'C'1 от новой оси откладываем отрезки, равные расстояниям точек А', В', С' от оси V/H. Натуральный вид треугольника АВС выражается новой его проекцией A'1B'1C'1.

Введение дополнительной плоскости проекции дает возможность преобразовать чертеж таким образом, что плоскость общего положения, заданная в системе Н, V, становиться перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций.

'с'

Рис.4.4 Рис.4.5

На рис.4.4 плоскость общего положения, заданная треугольником АВС в системе Н, V, становится перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций V1. Для этого в треугольнике АВС проведена горизонталь AD, Плоскость, перпендикулярная к AD, перпендикулярна к АВС и в то же время к плоскости Н (так как .ADççН). Этому соответствует плоскость V1 и треугольник АВС проецируется на нее в отрезок B"1C"1, Угол ф1 соответствует углу наклона треугольника АВС к плоскости Н

 

Если же взять плоскость H1 (рис. 4.5), перпендикулярную к плоскости V и плоскости, заданной треугольником АВС (для чего необходимо провести ось V/H1 перпендикулярно к фронтали треугольника АВС), то определим угол ф2 - наклона плоскости треугольника АВС к плоскости V.

4.1.2.Введение в систему H.V двух дополнительных плоскостей проекций

Рассмотрим следующий пример (рис.4.б, 4.7): прямую общего положения АВ, заданную в системе Н, V, требуется расположить перпендикулярно к дополнительной плоскости проекций.

Рис.4.7

 В этом случае придерживаемся такой схемы:

1) от системы H,V переходим к системе Н, V1 в которой дополнительная плоскость V1 ^ Н и V1 || АВ,

2) от системы H,V1 переходим к системе V1H1 где H1^V1 и H1^AB. Решение сводится к последовательному построению проекций А1¢ и A1" точки .А, В1¢ и B1" точки В.

Прямая АВ, общего положения в системе H,V, становится параллельной плоскости V1 в системе Н, V1 и проецируется в точку на плоскости H1 в системе V1, H1 т.е. АВ ^ H1,

44

На рис.4.8 дан пример построения натурального вида треугольника АВС.

Рис. 4.8

Решение такой задачи проводится по следующей схеме:

1) от системы H,V переходим к системе H,V1, в которой V1 ^ Н и V1 ^ AD (AD - горизонталь треугольника АВС), V1 ^ АВС.

2) от системы Н, V1 переходим к системе Vi, Hi, в которой H1 1 V1 и H1 || АВС,

В первой части задачи дополнительная плоскость V1 перпендикулярна плоскости треугольника АВС. Это построение повторяет показанное на рис, 4.4.

Во второй части построения на рис.4.8 сводятся к проведению оси V1/H1úï C'1"A1"B1" т.е. плоскость H1 проведена параллельно плоскости АВС, что приводит к определению натурального вида, выражаемого проекцией C'1'A1'B1'.

4.2.Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций

При вращении вокруг некоторой, неподвижной прямой i (ось вращения) каждая точка вращаемой фигуры перемещается в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (плоскость вращения). При этом точка перемещается по окружности, центр которой находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения (ценmр вращения). Радиус окружности равняется расстоянию от вращаемой точки до центра (это радиус вращения). Если какая-либо точка данной системы находится на оси вращения i, то при вращении системы эта точка считается неподвижной. Ось вращения может быть, задана и выбрана. Если ось вращения выбирается, то ее выгодно располагать перпендикулярно к одной из плоскостей проекций, так как при этом упрощаются построения.

4.2.1.Вращение вокруг заданной оси

Рис.4.9 Рис.4.10

Пусть точка А вращается вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости Н (рис.4.9). При вращении точка А описывает окружность радиуса R, плоскость которой находится в плоскости a и перпендикулярна к плоскости V, а, следовательно, параллельна плоскости Н Величина радиуса R выражается длиной перпендикуляра, проведенного из точки А на ось вращения. Окружность, описанная в пространстве точкой А, проецируется на плоскость Н без искажения, Так как плоскость а перпендикулярна к V, то проекции точек окружности на плоскость V расположатся на av" , т.е. на прямой, перпендикулярной к фронтальной проекции

оси вращения. Нарис.4.9 справа: окружность, описанная точкой А при вращении ее вокруг оси i, спроецирована без искажения на плоскость Н. Из центра О¢ проведена окружность радиуса R=O¢A.¢ На плоскость V эта окружность спроецировалась в виде отрезка прямой, равного 2R,

На рис,4.10 изображено вращение точки А вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости V. Окружность, описанная точкой А, спроецирована без искажения на плоскость V. Из точки О¢¢ проведена окружность радиуса R==O¢¢A". На плоскости Н эта окружность изображена отрезком прямой, равным 2R.

Из этого следует, что при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной к какой-нибудь из плоскостей проекций, одна из проекций вращаемой точки перемещается по прямой, перпендикулярной к проекции оси вращения.

4.2.2.Вращение вокруг выбранной оси

В ряде случаев ось вращения может быть выбрана. При этом, если ось вращения выбрать проходящей через один из концов отрезка, то построение упрощается, так как точка,, через которую проходит ось, будет неподвижной и для поворота отрезка необходимо будет построить новое положение проекции только одной точки - другого конца отрезка.

 Рис.4.11 Рис.4.12

На рис. 4.11 необходимо определить натуральную величину отрезка АВ и угол наклона его к плоскости Н. Ось вращения i выбрана перпендикулярно к плоскости Н и проходит через точку А. Поворачивая отрезок АВ вокруг оси i переводим его в положение,

параллельное плоскости V (т.е. АВ становится фронталью). Величина А В равна натуральной величине отрезка АВ, а угол А//В//В// равен углу наклона отрезка АВ к плоскости Н.

Аналогично определяется натуральная величина отрезка CD и угол наклона его к плоскости V (рис.89). Ось вращения i выбрана перпендикулярно к плоскости V и проходит через точку С. Поворачивая отрезок CD вокруг оси i переводим его в положение, параллельное плоскости Н (т.е. CD становится горизонталью). Величина С D равна натуральной величине отрезка CD и угол С/D равен углу наклона отрезка CD к плоскости V.

Рис.4.13

На рис 4.13 необходимо определить натуральный вид треугольника АВС и угол наклона его к плоскости Н. Т.к.. плоскость треугольника АВС является плоскостью общего положения, то данную задачу решаем по схеме:

1 Вращением вокруг оси i , перпендикулярной к плоскости Н и проходящей через точку С, переводим треугольник АВС из общего положения в положение фронтально - проецирующей плоскости.

2.Вращением вокруг оси i1, перпендикулярной к плоскости V и проходящей через точку А, переводим треугольник АВС из положения фронтально- проецирующей плоскости в положение плоскости, параллельной плоскости Н.

Для того, чтобы треугольник АВС перевести в положение фронтально- проецирующей плоскости, в плоскости треугольника АВС проводим горизонталь плоскости СК, Ее фронтальная проекция С//К// параллельна оси X. Горизонтальная проекция С/К/ равна натуральной величине отрезка СК. Ось вращения i выбираем перпендикулярно Н и проводим через точку С, Плоскость АВС становится в положение фронтально- проецирующей плоскости, если горизонталь данного треугольника (СК) займет положение, перпендикулярное к плоскости V и, следовательно, отрезок СК станет перпендикулярен к оси X, а фронтальная проекция С//К// проецируется в точку. Из центра i/ºС/ радиусом, равным С/К/, проводим дугу и строим новую проекцию К .Т.к. при вращении любой точки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, траектория перемещения точки расположена в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, то проекция К// расположена на прямой К// К// , параллельной оси X.

Методом засечек находим В/ и А/. Фронтальная проекция В'' лежит на прямой В//В// и параллельной оси X, фронтальная проекция А/ лежит на прямой А/А/, параллельной оси X. В результате данного вращения плоскость АВС стала фронтально проецирующей и угол (р равен углу наклона плоскости АВС к плоскости Н.

Ось вращения i1 выбираем перпендикулярно V и проводим через точку А . Вращаем точку К и точку С радиусом А К , точку В радиусом А В до тех пор, пока плоскость АВС не займет положение, параллельное плоскости Н и, следовательно, отрезок А1//К1//В1// параллелен оси ОХ. Т.к. траектории перемещения точек С ,В и К при этом на горизонтальную плоскость Н с проецировалась в прямые, параллельные

оси X,. то

С/ лежит на прямой С/С/,

В/1 лежит на прямой В/В/1,

К/1лежит на прямой К/К/1.

Проекция A/B/C/ определяет натуральный вид треугольника АВС.

4.3. Способ параллельного перемещения

При параллельном перемещении траектории перемещения каждой точки геометрической фигуры находятся в параллельных плоскостях, причем эти плоскости (носители траекторий) параллельны плоскостям проекций. Траектория перемещения – произвольная плоская линия.

Пример 1. Отрезок АВ прямой общего положения, перевести в положение, параллельное V (рис.4.14).

Отрезок АВ перемещаем в положение фронтали (АВ // V ), поэтому новая горизонтальная проекция А1¢ В1¢ должна быть параллельна оси Х, причем ½А¢В¢½=½А1¢В1¢½.

Так как при решении данной задачи используем метод параллельного переноса ,то, следовательно, траектория перемещения точки А является плоской линией, через которую можно провести плоскость а // Н, которая на фронтальную плоскость проекций V спроецируется в прямую а\- , параллельную оси X.

Проводим линию связи и находим A1 . Аналогично определяем B1, Траектория перемещения .точка В находится в плоскости b // Н,

a // b // Н. Проводим линию связи и находим B1".,

[A1" B1 ] - натуральная величина отрезка АВ.

Рис.4.14.

Пример 2. Отрезок АВ (общего положения) перевести в положение, перпендикулярное V (рис. 4.15).

Рис.4.15.

Для перевода отрезка из общего положения в проецирующее, необходимо последовательно выполнить два перемещения :

1.) перевести отрезок АВ в положение, параллельное Н (аналогично примеру 1),

2.) переводим отрезок в положение, перпендикулярное V.

Пример 3. Определить натуральную величину (Н.В.) треугольника АВС (рис. 4.16).

Так как треугольник АВС является плоскостью общего положения, то в этом случае необходимо выполнить два перемещения:

1.) перемещаем треугольник АВС в положение, перпендикулярное V.

2.) перемещаем треугольник АВС в новое положение, параллельное Н.

Для решения первой части задачи в треугольнике АВС проводим через точку А горизонталь. Перемещаем треугольник АВС параллельным переносом в положение перпендикулярное V. Следовательно горизонталь треугольника АВС должна быть перпендикулярной V. Проводим новую проекцию горизонтали A1' Д1¢ перпендикулярно оси Х, 

причем ½A1¢Д1¢½=½А¢Д¢½  Затем методом засечек

(привязываясь к A1 и H1) строим A1, B1, Д1, (аналогично рис 4.14)

Рис.4.16.

Так как треугольник АВС стал перпендикулярен V, то его фронтальная проекция (A1¢¢ B1¢¢ Д1¢¢ C1¢¢)- прямая линия.

Выполняя вторую часть задачи плоскость треугольника из положения фронтально-проецирующей плоскости параллельным переносом переводим в положение горизонтальной плоскости уровня, следовательно фронтальная проекция этой плоскости С2¢¢ А2¢¢ В2¢¢ параллельна оси X.

Новую горизонтальную проекцию точек А,В,С находим аналогично (рис. 4.15)

Полученная проекция А2¢В2¢С2¢ равна натуральной величине треугольника АВС.

Угловые размеры указывают в градусах, минутах и секундах с обозначением единицы измерения, например: 45° и наносят так, как показано на рисунке 9

 


 Рисунок 9 Рисунок 10

Нанесение размеров радиусов показано на рисунке 10. Перед размерным числом ставится прописная буква R. Знак радиуса и. размерное число выполняются шрифтом одного размера. Размерная линия проводится через центр или в направлении центра дуги окружности. Стрелка на такой размерной линии выполняется только на конце, упирающемся в линию дуги

Нанесение размеров диаметров показано на рисунке 11 и 12. Перед размерным числом ставится знак «Æ». Высота знака равна размеру шрифта размерного числа. Угол наклона штриха знака примерно 60...70.

 


 Рисунок 11 Рисунок 12

Если на чертеже имеется несколько одинаковых отверстий, то их размер указывается один раз, а их число пишется перед размерным числом (рисунок 13, а) или под полкой линии-выноски (рисунок 13, б).

 


 а) б)

 Рисунок 13


на главную