Примеры задач по математике Основы расчета и проектирования деталей и узлов машин Начертательная геометрия Курс лекций и практических занатий по черчению Базовый курс по электротехнике

Начертательная геометрия

ПОВЕРХНОСТЬ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ЗАДАНИЕ И ИЗОБРАЖЕНИЕ НАЧЕРТЕЖЕ. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТИ. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

В начертательной геометрии пользуются кинематическим способом образования поверхностей.

При этом способе поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону.

Линия при своем движении может оставаться неизменной или непрерывно меняться.

На всякой поверхности Ώ можно провести два таких семейства линий 1 и m (рис 5.1),которые будут удовлетворять следующему условию: никакие две линии одного семейства не пересекаются между собой и, наоборот, каждая линия одного семейства пересекают все линии другого семейства. В этом случае поверхность Ώ может быть, образована движением линии 1, называемой образующей, по неподвижным линиям m, которые называются направляющими.

 Рис.5.1

Каждая поверхность может быть, образована различными способами. Так поверхность прямого кругового цилиндра (рис 5.2) может быть, образована вращением прямолинейной образующей 1 вокруг оси, ей параллельной, или движением образующей окружности m ,центр которой 0 перемешается по оси цилиндра, а плоскость окружности остается все время перпендикулярной к оси, либо вращением около оси произвольной образующей k, нанесенной на поверхность цилиндра.

Из всех способов образования поверхностей необходимо выбирать такие, которые являются наиболее простыми и удобными для решения задач.

Поверхность считается заданной, если по одной проекции точки на поверхности, можно построить ее вторую проекцию, т.е. на поверхности достаточно иметь такие элементы, которые позволяют построить каждую ее точку. Совокупность элементов позволяющих однозначно задать поверхность и выделить ее из других называется определителем поверхности.

В число элементов, входящих в состав определителя, должны быть, включены:

Рис 5.2

1. Геометрические фигуры (точки, линии, поверхности), с помощью которых, может быть, образована поверхность;

2. Алгоритмы формирования поверхности.

Итак; определитель поверхности состоит из двух частей: из совокупности геометрических фигур (первая часть) и дополнительных сведений о характере изменения формы образующей и законе ее перемещения (вторая часть). Определитель произвольной поверхности будет иметь следующую структурную форму Ф (Г) [А ], где (Г) -геометрическая часть, [А ]- алгоритмическая часть. Например, определителем цилиндрической поверхности вращения будет: Ф (а, m), [А ], где а- прямая, m- ось вращения. При этом прямая а задает

 образующую, а ось m и словесное добавление, что цилиндрическая поверхность является поверхностью вращения - определяет закон движения образующей а .

Для придания чертежу большей наглядности в большинстве случаев строят на нем еще и очерк поверхности. Очерком поверхности называется граница, которая отделяет проекцию поверхности от остальной части плоскости проекции. Так фронтальным очерком прямого кругового конуса, ось которого перпендикулярна плоскости Н, является треугольник, а горизонтальным очерком - окружность.

Поверхность, которая может быть, образована прямой линией, называется линейчатой поверхностью. Линейчатая поверхность представляет собой геометрическое место прямых линий.

Поверхность с криволинейной образующей называется нелинейчатой поверхностью. Примеры линейчатых поверхностей даны на рис.5.3. Поверхность образована прямой линией A1A2, которая оставаясь  постоянно параллельной прямой S1S2, перемещается по неподвижной линии Т1 Т2 Т3 которую называют направляющей. Нетрудно видеть, что это поверхность цилиндра.

55

Поверхность конуса (рис 5.4) образуется движением прямолинейной образующей 1 по криволинейной направляющей m, при этом образующая постоянно проходит через одну и ту же точку S. Точка S называется вершиной конической поверхности,

Примером нелинейчатой поверхности служит:

а) сфера (образующая- кривая линия, в данном случае окружность). Сфера образуется вращением окружности вокруг диаметра;

б) тор, образуется вращением окружности вокруг оси i, лежащей в плоскости окружности, но не проходящей через ее центр.

5.1. Гранные поверхности.

Чертежи призмы и пирамиды.

Грани призм и пирамид ограничиваются ребрами, являющимися прямолинейными отрезками, пересекающимися между собой. Поэтому построение чертежей призм и пирамид сводится по существу к построению проекций точек (вершин) и отрезков прямых - ребер.

Призматическая поверхность на чертеже может быть, изображена проекциями фигуры, полученной при пересечении боковых граней призмы плоскостью, и проекциями ребер призмы. Пересекая призматическую поверхность двумя параллельными между собой плоскостями, получают основание призмы. На чертеже основания призмы удобно располагать параллельно плоскости проекций. Чертеж 

призмы с проекциями треугольных оснований а΄΄ б΄΄ с΄΄, а΄б΄с΄ и d΄΄ e΄΄ f΄΄, d΄e΄f.΄, параллельных плоскости Н, приведен на рис 5.5. Одноименные проекции ребер призмы параллельные между собой. Для изображения поверхности пирамиды на чертеже используют фигуру сечения боковых граней пирамиды плоскостью и точку их пересечения - вершину. На чертеже пирамиду задают проекциями ее основания, ребер и вершины, усеченной пирамиды проекциями обоих оснований и ребер.

Изображая пирамиду, удобно ее основание располагать параллельно плоскости проекций. На рис 5.6 приведен чертеж неправильной треугольной пирамиды с проекциями S΄', S' вершины и основанием, проекции которого b΄΄ c΄΄ d΄΄ и b΄ с΄ d΄, лежащим в плоскости проекций Н.

Призмы и пирамиды в трех проекциях, точки на поверхности

Изображения призм и пирамид, имеющих широкое применение в качестве основных элементов деталей машин и приборов, приведены на рис. 5.7 На приведенных чертежах ребра проецируется в виде отрезков прямых или в виде точек. Например, фронтальные и профильные проекции боковых ребер призм и пирамид - отрезки прямых. Горизонтальные проекции тех же боковых ребер призм.

Профильные проекции ребер оснований призм - точки 2΄΄΄ (3΄΄΄ ), (5΄΄΄ )6΄΄΄ на рис.5.7,а, точка 1¢"(3"') на рис 5.7, б, в.

Рис 5.7

Грани призм, пирамид, которые перпендикулярны к плоскостям проекций, проецируются на них в виде отрезков прямых линий. Так, например, боковые грани призм (рис 5.7,а, б) на горизонтальной проекции изображаются в виде отрезков прямых линий, образующих шестиугольник, в виде отрезков прямых линий проецируются на профильную плоскость проекций передняя и задняя грани призмы на рис. 97,а, задняя грань призмы и пирамиды на, рис 5.7,6, в. Основания

изображенных тел проецируются в отрезок прямой линии на фронтальную и профильную плоскости проекций.

Построение недостающих проекций точек на поверхности призм и пирамид по заданным фронтальным проекциям на рис 5.7 показано стрелками и соответствующими координатами.

Профильные проекции а"¢,с'" построены с помощью координат ya,yc, определяемых по горизонтальным проекциям.

Горизонтальная d' и профильная (d¢¢¢проекции точки D на грани S-1-2 пирамиды (рис 5.7,в) построены с помощью проекций 2¢¢ - 4'¢, 2¢¢¢4¢¢¢ отрезка на этой грани. Аналогично с помощью профильной проекции 1¢¢¢5¢¢¢ отрезка на грани S-1-2 пирамиды (рис 5.7,г) построена профильная проекция f¢¢¢ . Горизонтальная проекция f построена с помощью горизонтали той же грани, про ходящей через проекцию 6¢ на проекции ребра S-1. Горизонтальная проекция е¢ построена с помощью координаты ye, определенной по профильной проекции е¢¢¢.

В рассмотренных примерах координаты ya, ye заданы относительно плоскостей R(Rh, Rw), Yc - относительно плоскости Т(Тh Тw).

5.2.Поверхсности вращения

Поверхностью вращения называется поверхность, которая описывается какой- либо кривой, в частности прямой,(образующей) при ее вращении вокруг неподвижной оси.

Образующая может быть как плоской, так и пространственной кривой. Поверхность вращения определяется заданием своей образующей 1 и оси i (рис 5.8).

Каждая точка образующей 1 при вращении описывает окружность с центром на оси i. Эти окружности называются параллелями. Наименьшая и наибольшая параллели называются соответственно горлом и экватором. Параллели h2, h5 .- экваторы, а параллель h3- горло,

Рис 5.8

При изображении поверхности вращения на комплексном чертеже обычно поверхность располагают так, чтобы ее ось i была перпендикулярна к плоскости проекций. Если ось i перпендикулярна плоскости проекций Н, то все параллели проецируются на плоскость Н без искажения. Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения, пересекают данную поверхность по меридианам. Меридиан, расположенный во фронтальной плоскости, проецируется без искажения на плоскость V. Этот меридиан называется главным меридианом, он определяет фронтальный очерк поверхности.

Поверхности вращения получили широкое применение в деталях механизмов и машин. Основными причинами этого является, с одной

стороны, распространенность вращательного движения, а с другой стороны - простота обработки поверхности вращения.

5.3.Точка и линия на поверхности

Выше было сказано, что поверхность считается заданной, если по одной проекции точки на поверхности можно построить ее вторую проекцию. Так же ранее было дано определение принадлежности точки плоскости (частный случай поверхности). Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, лежащей на этой поверхности. Причем линии, проведенные через точку на данной поверхности должны быть геометрически простейшими (прямыми или окружностями). Положение точки на поверхности вращения определяют с помощью окружности, проходящей через эту точку на поверхности вращения. В случае линейчатых поверхностей для этой цели возможно применение и прямолинейных образующих.

На рис 5.9 показано построение точки К принадлежащей поверхности тора. Следует отметить, построение выполнено для видимых горизонтальной проекции К и фронтальной проекции К .Для построения К по заданной проекции К", через К" проводим параллель, которая на фронтальную плоскость проецируется в прямую линию, а на горизонтальную плоскость в окружность, на которой находим К'.

 На рис 5.10 показано построение по заданной фрактальной

проекции m" точки на поверхности

  Рис 5.9

сферы ее горизонтальной m¢ и


61

профильной m'" проекцией. Проекция m построена с помощью

окружности - параллели, проходящей через проекцию m . Ее радиус - O'-l' . Проекция т" построена с помощью окружности, плоскость которой параллельна профильной плоскости проекций, проходящей через проекцию m¢'. Ее радиус - О -m".

5.4.0бщие сведения о способах построения линии взаимного пересечения двух поверхностей

Линия пересечения двух поверхностей в общем случае представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на две и более части. Эти части могут быть, в частности кривыми. Обычно линию пересечения двух поверхностей строят по ее отдельным точкам. Общим способом построения этих точек является способ поверхностей- посредников. Пересекая данные поверхности некоторой вспомогательной поверхностью, и определяя линии пересечения ее с данными поверхностями, в пересечении этих линий получим точки, принадлежащие искомой линии пересечения.

Наиболее часто в качестве поверхностей- посредников применяют плоскости или сферы, в зависимости от чего различают следующие способы построения точек линии пересечения двух поверхностей:

способ вспомогательных плоскостей и способ вспомогательных сфер. Применение того или иного способа зависит как от типа данных поверхностей, так и от их взаимного расположения.

Способ вспомогательных секущих плоскостей следует применять тогда, когда обе поверхности возможно пересечь по графически

простым линиям некоторой совокупностью проецирующих плоскостей или, в частности, совокупностью плоскостей уровня.

Способ вспомогательных сфер можно применять при построении линии пересечения таких поверхностей, которые имеют общую плоскость симметрии, расположенную параллельно какой либо плоскости проекций. При этом каждая из поверхностей должна содержать семейство окружностей, по которым ее могут пересекать вспомогательные сферы, общие для обеих поверхностей. Способ вспомогательных секущих сфер можно применять при построении линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются и параллельны какой- либо плоскости проекций.

Каким бы способом ни производилось построение линии пересечения поверхностей, при нахождении точек этой линии необходимо соблюдать определенную последовательность. У линии пересечения двух поверхностей различают точки опорные и случайные.

В первую очередь определяют опорные точки, так как они позволяют видеть, в каких пределах расположены проекции линии пересечения и где между ними имеет смысл определять случайные точки для более точного построения линии пересечения,

Определение видимости линии пересечения производят отдельно для каждого участка, ограниченного точками видимости, при этом видимость всего участка совпадает с видимостью какой- либо случайной точки этого участка.

При построении линии пересечения необходимо иметь в виду, что ее проекции всегда располагаются в пределах площади наложения одноименных проекции пересекающихся поверхностей.

Рис 5.11 дает наглядное представление о решении задачи по определению линии пересечения двух произвольных поверхностей вращения а и р с помощью вспомогательных сферических поверхностей,

Деление окружности на ровные части.

Деление окружности на три равные части, и построение правильного вписанного треугольника выполняют с помощью циркуля или угольника с углами 30, 60 и 90° и рейсшины.

При делении окружности циркулем на три равные части из любой точки окружности, например из точки А пересечения центровых линий с окружностью (рисунок 15), проводят дугу радиусом R, равным радиусу данной окружности, получают точки 1 и 2. Третья точка деления (точка 3) будет находиться на противоположном конце диаметра, проходящего через точку А. Последовательно соединив точки 1, 2 и 3, получают правильный вписанный.

 


 а) б)

 Рисунок 15 Рисунок 16

При делении окружности на шесть равных частей циркулем из двух концов одного диаметра радиусом, равным радиусу данной окружности, проводят дуги до пересечения с окружностью в точках 2, 6 и 3, 5 (рисунок 16). Последовательно соединив полученные точки, получают правильный вписанный шестиугольник.

При делении окружности на 12 частей циркулем из четырех концов двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности проводят радиусом, равным радиусу данной окружности, дуги до пересечения с окружностью (рисунок 17).

 


 а) б)

 Рисунок 17


на главную