Примеры задач по математике Основы расчета и проектирования деталей и узлов машин Начертательная геометрия Курс лекций и практических занатий по черчению Базовый курс по электротехнике

Начертательная геометрия

Пересечение поверхностей, когда одна из них проецирующая

К проецирующим поверхностям относятся:

1) цилиндр, если его ось перпендикулярна плоскости проекций;

Рис 5.11

2) призма, если ребра призмы перпендикулярны плоскости проекций,

Проецирующая поверхность проецируется в линию на плоскость проекций. Все точки и линии, принадлежащие боковой поверхности проецирующего цилиндра или проецирующей призме проецируются в линию на ту плоскость, которой ось цилиндра или ребро призмы перпендикулярно. Линия пересечения поверхностей принадлежит обеим поверхностям одновременно и, если одна из этих поверхностей проецирующая, то для построения линии пересечения можно использовать следующее правило:

Если одна из пересекающихся поверхностей проецирующая, то одна проекция линии пересечения есть на чертеже в готовом виде и совпадает с проекцией проецирующей поверхности ( окружность, в которую проецируется цилиндр или многоугольник, в который проецируется призма). Вторая проекция линии пересечения строится исходя из условия принадлежности точек этой линии другой непроецирующей поверхности.



Пример: Построить линию пересечения сферы и цилиндра. На рис5.12 горизонтальная проекция линии пересечения прямого кругового цилиндра и сферы совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра. Фронтальная и профильная проекции линии построены по их принадлежности сфере с помощью проекций вспомогательных линий на сфере. Отметим характерные (опорные) точки линии пересечения, пользуясь горизонтальной проекцией, Высшая и низшая точки (их проекции 2¢¢, 2¢, 2¢¢¢ и 1¢¢, 1¢ 1¢¢¢) лежат в плоскости симметрии фигуры, проходящей через центр сферы с проекциями 0¢¢,0' и ось цилиндра с проекциями O1¢O1¢¢, Горизонтальная проекция плоскости симметрии- прямая, проходящая через проекции 0'и O1¢. В пересечении этой прямой с проекцией цилиндра отмечаем горизонтальные проекции 2¢ и 1¢ высшей и низшей точек линии пересечения. Заметим, что точка 2 - ближайшая к высшей точке сферы, а точка 1 - наиболее удаленная

от нее, точки 3 и 4 - крайние левая и правая на фронтальной и

горизонтальной проекциях, их профильные проекции 3''',4¢¢¢ на проекциях образующих, совпадающих с проекцией оси цилиндра. Точки 5 и 6 находятся на главном меридиане сферы, их фронтальные проекции 5¢¢ и 6¢¢ - на фронтальном очерке сферы, профильные 5¢¢¢ и 6¢¢¢ - на профильной проекции вертикальной оси сферы. Точки 7 и 8 - ближайшая к плоскости V и наиболее удаленная от нее, их фронтальные проекции 7¢¢ и 8¢¢ - на проекции оси цилиндра, а профильные 7¢¢¢ и 8¢¢¢ - на крайних левой и правой проекциях образующих. Точки 9 и 10 имеют проекции 9¢¢ и 10¢¢ на фронтальной проекции вертикальной оси сферы, проекции 9¢¢¢ и 10'"- на профильной проекции очерка сферы.

Рассмотренные особенности характерных точек позволяют легко проверить правильность построения линии пересечения поверхностей, если она построена по произвольно выбранным точкам. В данном случае десяти точек достаточно для проведения плавных проекций линии пересечения. При необходимости может быть построено любое количество промежуточных точек.

Проекция 1¢¢ низшей точки построена с помощью проекций параллели сферы. Проекция 2¢¢ высшей точки построена с помощью проекции окружности радиуса 0¢¢ d¢¢ на поверхности сферы, плоскость которой параллельна плоскости V. Аналогичные построения остальных проекций точек линии пересечения ясны из чертежа.

Построенные точки соединяют плавной линией с учетом особенностей их положения и видимости.

5.6. Способ вспомогательных секущих плоскостей

На рис 5.13 показано, что две криволинейные поверхности А и В пересекаются третьей секущей вспомогательной плоскостью Q, Находят линии пересечения KL и MN вспомогательной поверхности с каждой из заданных. Точка Т пересечения построенных линий KL и MN принадлежат линии пересечения заданных поверхностей А и В.

Повторяя такие построения многократно с помощью других вспомогательных поверхностей, находят необходимое число общих точек двух поверхностей для построения линии их пересечения.

Сформулируем общее правило построения линии пересечения поверхностей:

выбирают вид вспомогательных поверхностей;

строят линии пересечения вспомогательных поверхностей с заданными поверхностями;

находят точки пересечения построенных линий и соединяют их между собой.

Рис 5.13

Вспомогательные секущие плоскости выбираем таким образом, чтобы в пересечении с заданными поверхностями получались геометрически простые линии (прямые или окружности).

Пример. Построить линию пересечения конуса вращения и сферы (рис 5.14 ). Алгоритм решения;

1) К,СфÇТn(Qn)

2) KÇTv=n;

3) СфÇa=m;

4) mÇn= 6-5

Выбираем вспомогательные секущие плоскости. Чаще всего, в качестве вспомогательных секущих плоскостей выбирают проецирующие плоскости, в частности, плоскости уровня. При этом необходимо учитывать линии пересечения, получаемые на поверхности, в результате пресечения поверхности плоскостью. Так конус является наиболее сложной поверхностью по числу получаемых на нем линий.

Только плоскости, проходящие через вершину конуса или перпендикулярные оси конуса, пересекают его соответственно по прямой линии и окружности (геометрически простейшие линии). Плоскость, проходящая параллельно одной образующей пересекает его по параболе, плоскость параллельная оси конуса пересекает его

по гиперболе, а плоскость, пересекающая все образующие и наклонные к оси конуса, пересекает его по эллипсу.

Рис 5.14

На сфере, при пересечеиии ее плоскостью, всегда получается окружность, а если пересекать ее плоскостью уровня, то эта окружность проецируется на плоскости проекции соответственно в прямую линию и окружность.

Итак, в качестве вспомогательных плоскостей выбираем горизонтальные плоскости уровня, которые пересекают и конус, и сферу по окружностям (простейшие линии).

Построение начинают обычно с отыскания проекций характерных точек. Проекции 1¢¢ высшей и 2¢¢ низшей точек являются точками пересечения фронтальных проекций очерков, так как центр сферы и ось конуса лежат в плоскости, параллельной плоскости V. их горизонтальные 1¢, 2¢ и профильные 1''',2"¢ проекции находят в проекционной связи. Проекции 3",3',3"' и 4//,4/,4/'', лежащие на экваторе

сферы, находят с помощью горизонтальной плоскости Q(Qv), проходящей через центр сферы 0(0¢¢ ). Она пересекает сферу по экватору и конус по окружности радиуса rq, в пересечении горизонтальных проекций которых и находят горизонтальные проекции 3¢ и 4¢ точек искомой линии пересечения. Горизонтальные проекции 3¢ и 4¢ этих точек являются границами видимости участков линии пересечения на этой проекции. Проекции промежуточных точек, например 5¢¢,5',5¢¢¢ и 6¢¢,6¢,6¢¢, находят с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости Т (Тv). Их построение ясно из чертежа. Аналогично построены другие точки. Профильные проекции точек линии пересечения строят по их фронтальной и горизонтальной проекциям, точки с проекциями 7¢¢,7¢,7¢¢¢ и 8¢¢,8¢,8"¢ являются границами видимости участков профильной проекции линии пересечения. Ниже проекций 7¢¢¢ и 8"' профильная проекция линии пересечения видима.

5.7.Способ вспомогательных секущих сфер с постоянным
центром

Известно, что если центр сферы находится на оси какой- нибудь поверхности вращения, то сфера соосна с поверхностью вращения и в их пересечении получаются окружности AB,CD, EF, КL(,рис5.15 ).

Рис 5.15.

Это свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности вращения и положено в основу способа концентрических сфер, который применяют при следующих условиях:

1.0бе пересекающиеся поверхности- поверхности вращения.

2. Оси поверхностей пересекаются; точку пересечения принимают за центр вспомогательных, (концентрических) сфер.

3.Плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть, параллельна плоскости проекции. Если это условие не соблюдается, то чтобы его достигнуть, прибегают к способам преобразования чертежа.

Пример. Определить линию пересечения двух конических поверхностей с пересекающимися осями (рис 5.16).

Рис.5.16

70

Построение начинаем с определения характерных точек А, В, С D, которые лежат во фронтальной плоскости, проходящей через плоскость симметрии поверхностей. Их фронтальные проекции А",В ,С ,D определяются пересечением главных меридианов. Далее определяем сферы R min и R max. Сфера R min определяется двумя способами:

1.Если образующие пересекающихся поверхностей прямые линии, то из центра 0¢¢ проводим перпендикуляры к образующим заданных поверхностей. Наибольший из этих перпендикуляров будет являться R min.

2. Если образующая хотя бы одной поверхности кривая линия, то R min находится подбором, т.е. сфера R min должна быть, вписана в одну поверхность и описана вокруг другой.

Сфера R max - это расстояние от центра 0¢' до наиболее удаленной от него точки линии пересечения. В нашем случае это 0"В¢¢.

Величина радиуса вспомогательных сфер для определения линии пересечения находим в пределах от R min = (О¢¢¢) до R max = (О¢¢ В¢¢). Точка М¢¢ определяется как точка касания окружности, проведенной к главному меридиану m¢¢2 из центра О¢¢. Для определения линии L2-Rmax=½О"С"½, R min =½О¢¢М¢¢½. Для определения точек N¢¢1 и N¢¢2, принадлежащих линии 12 находим окружность (на фронтальной плоскости - прямая), по которой пересекаются конус a¢¢ и сфера R min, и находим окружность (на фронтальной плоскости - прямая), по которой пересекаются конус b¢¢ и сфера R min . на пресечении этих линий находим точки N¢¢1и N¢¢2.

Построив несколько сфер с центром в точке О¢¢, в промежутке,

между R min и R max находим точки, принадлежащие линии пересечения

Вторую проекцию линии пересечения строят исходя из условия принадлежности точек этой линии той или другой поверхности.

Недостаток метода сфер

1) При построении должна соблюдаться графическая точность.

2) Линия пересечения строится на одной плоскости проекций.

5.8. Некоторые особые случаи пересечения поверхностей

В некоторых случаях расположение, форма или соотношения размеров криволинейных поверхностей таковы, что для изображения линии их пресечения никаких сложных построений не требуется. К ним относятся пересечение цилиндров с параллельными образующими, конусов с общей вершиной, соосных поверхностей вращения, поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы.

5.8.1. Пересечение поверхностей, описанных вокруг одной сферы

В этом случае линиями пересечения поверхностей второго порядка являются две плоские кривые второго порядка, изображаемые на плоскости, параллельной осям поверхностей, в виде прямолинейных отрезков.

Примеры изображения линии пересечения поверхностей вращения,

описанных вокруг одной сферы рассмотрены на (рис 5.17).

В случаях (ряс 5.17 а,б ) поверхности двух цилиндров, конуса и цилиндра пересекаются по двум эллипсам с проекциями 1¢¢2¢¢ и 3¢¢4¢¢.

В случае (; рис.5.17,в) пересечения конусов с вершинами S1 и S2, у которых имеются две параллельные образующие, линии пересечения - из эллипс с проекцией 1¢¢2¢¢ и парабола с вершиной в точке с проекцией 3¢¢.

Рассмотренные примеры пересечения двух поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы, являются частными случаями,

следующими теоремы Монжа: две поверхности второго порядка, описанные около третьей поверхности второго порядка (или в нее вписанные), пересекаются между собой по двум кривым второго порядка, плоскости которых проходят чрез прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

Пример, Построить линию пересечения конуса и цилиндра, описанных вокруг общей сферы ( рис 5.18 ).В соответствии с теоремой Г. Монжа линии пересечения конуса и цилиндра будут плоскими кривыми - эллипсами, фронтальные проекции которых изображаются прямыми А¢¢В¢¢ и C¢¢D¢¢.

Для решения этой задачи необходимо:

1) найти линию касания цилиндра и сферы (окружность, которая на плоскость V проецируется в прямую линию).

2) найти линию касания конуса и сферы (окружность, которая на плоскость V проецируется в прямую линию).

3) находим точку пересечения построенных линий.

4) проводим прямые, проходящие через точки пересечения

очерковых образующих и точку пересечения линий касания

заданных поверхностей с поверхностью сферы.

Вторую проекцию линии пересечения строим исходя из условия

принадлежности точек этой линии поверхности цилиндра или поверхности конуса.


Рис.5.18.

Лекальные кривые.

Лекальные кривые называют так потому, что они обводятся по лекалу.

Построение эллипса по заданным осям. Заданы оси эллипса АВ (большая) и CD (малая), требуется построить эллипс. Проводят две взаимно перпендикулярные прямые и от точки их пересечения (точка О) откладывают вверх и вниз по половине малой оси, а влево и вправо - по половине большой оси (рисунок 27). Из точки О описывают две концентрические окружности: одну - через концы малой оси, а вторую - через концы большой оси. Большую окружность делят на любое число равных частей, например, двенадцать, все точки деления соединяют прямыми с точкой О. Эти двенадцать радиусов разделяют малую окружность тоже на двенадцать равных частей. Из всех двенадцати точек, лежащих на большой окружности, проводят прямые, параллельные малой оси, а из точек, лежащих на малой окружности, проводят прямые, параллельные большой оси эллипса, до пересечения друг с другом. В пересечении этих прямых получают точки, принадлежащие эллипсу. Затем эти точки соединяют от руки плавной линией и обводят по лекалу.

Рисунок 27 


на главную