Примеры задач по математике Основы расчета и проектирования деталей и узлов машин Начертательная геометрия Курс лекций и практических занатий по черчению Базовый курс по электротехнике

Начертательная геометрия

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЯМИ

Общие сведения о пересечении поверхности плоскостью.

При пересечении любого тела с плоскостью получается некоторого вида плоская фигура, называемая сечением. Под сечением понимают ту часть секущей плоскости, которая находится внутри рассеченного тела и ограничена линией сечения. Линией сечения тела плоскостью является контур этого сечения

Плоскости, с помощью которых получается сечение, называют секущими.

Фигура сечения многогранника — многоугольник, число сторон которого равно числу граней, пересекаемых плоскостью. Вершинами этого многоугольника являются точки пересечения ребер с секущей плоскостью, а сторонами — линии пересечения граней с секущей плоскостью. Плоские сечения многогранников — замкнутые фигуры.

В пересечении кривой поверхности плоскостью в общем случае получается плоская кривая линия (окружность, эллипс и т. п.). При пересечении линейчатых поверхностей плоскостями  могут получаться, в частности, и прямые линии, если секущая плоскость направлена вдоль образующих (цилиндра, конуса и др.).

Основным способом построения точек линии пересечения поверхности с плоскостью является способ вспомогательных секущих плоскостей. Вспомогательная плоскость пересекает секущую плоскость по прямой, а заданную поверхность по некоторой кривой или прямой линии. Точки пересечения этих линий и будут искомыми точками, принадлежащими поверхности и секущей плоскости.

Построение проекций линии сечения поверхности плоскостью значительно упрощается, если секущая плоскость проецирующая. В этом случае одна из проекций линии сечения уже имеется на чертеже: она совпадает с проекцией плоскости. Остается лишь найти другие проекции этой линии.

Пересечение пирамиды с плоскостью

Плоскость пересекает пирамиду по многоугольнику. Если плоскость параллельна основанию пирамиды, в сечении получается фигура, подобная основанию. При построении линии пересечения

пирамиды с плоскостью определяют точки пересечения ее ребер с данной плоскостью или строят линии пересечения граней пирамиды с этой плоскостью.

На рис.6.1 показано построение проекции линии сечения пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью a Фронтальная проекция линии сечения совпадает с фронтальной проекцией av секущей плоскости. Горизонтальная и профильная проекции сечения находятся с помощью линий связи проведённых из точек 1² ... б² до пересечения с горизонтальными проекциями соответствующих рёбер пирамиды.

Рис 6.1

Натуральная величина сечения определена способом замены плоскостей проекции. Так как сечение имеет фронтальную ось симметрии, при построении его натурального вида эта ось проведена параллельно av.

Для построения точек 1о...6о данного сечения использованы их размеры у.

Пересечение призмы с плоскостью

При построении линии пересечения призмы с плоскостью определяют точки пересечения ее ребер с данной плоскостью. Эту линию можно также построить, определяя линии пересечения отдельных граней призмы с плоскостью. В результате пересечения поверхности призмы плоскостью может быть получен прямоугольник (рис.6.2а ), если эта плоскость параллельна боковым рёбрам призмы, или различного вида многугольники (рис.6.2 б,в.), если плоскость не па параллельна им


На рис 6.3 показано построение проекций линии сечения

треугольной призмы фронтально-проецирующей плоскостью a

В сечении получен четырёхугольник ABCD, фронтальная проекция которого совпадает с фронтальной проекцией av секущей плоскости. Точки А,В являются точками пересечения боковых рёбер призмы с плоскостью a, а отрезок CD - линия пересечения верхнего основания призмы с этой плоскостью.

Натуральный вид сечения Ао Во Со Do построен способом замены плоскостей проекций, для этого введена новая плоскость проекций,

 


параллельная плоскости о, и на эту плоскость спроецированы точкиA,B,C,D. Из проекций А², В", С² D² проведены линии связи, перпендикулярные к следу av, и на свободном поле чертежа проведена линия Ао Do, параллельная av. Эта линия принята за базу отсчёта размеров у на фигуре сечения потому, что прямая AD принадлежит фронтальной плоскости задней грани призмы, которую принимают за базовую. Точки Во и Со построены с помощью размеров ув и ус.

6.4. Пересечение цилиндра с плоскостью

При пересечении цилиндра плоскостью фигура сечения будет зависеть от угла наклона плоскости по отношению к оси вращения.

Если секущая плоскость параллельна оси вращения (рис 6.4 а ), в сечении цилиндра получится прямоугольник. Если плоскость перпендикулярна оси вращения (рис 6.4 , б), в сечении получится окружность.

Когда секущая плоскость расположена под углом к оси вращения цилиндра, в сечении получается эллипс (рис 6.4 в) или его часть ( рис 6.4', г).

Рис 6.4

На рис 6.5 показано построение проекций линии сечения цилиндра фронтально - проецирующей плоскостью a (av).

Линией пересечения является эллипс. Большая ось эллипса - АВ = А' 'В'/, малая ось CD = С¢D¢ - диаметр цилиндра.

Ось цилиндра и вся цилиндрическая поверхность перпендикулярны плоскости Н. Следовательно, все точки цилиндрической поверхности, в том числе и линия пересечения ее с плоскостью а(а ) проецируется на плоскость Н в окружность, на ней отмечают горизонтальные проекции точек А¢, 1¢, С¢, 2¢, В', D', 2', 1' эллипса, расположив их равномерно по окружности. В проекционной связи строят фронтальные проекции А², \", С², В², 2//, В² на фронтальном следе av секущей плоскости.

Профильные проекции точек строят по их горизонтальной и фронтальной проекциям на линиях связи. Профильная проекция линии пересечения цилиндра с секущей плоскостью - эллипс, большая ось C²¢D²¢ которого в данном случае равна диаметру цилиндра , а малая ось А²¢В²¢ - профильная проекция отрезка АВ. Натуральный вид сечения построен способом замены плоскостей проекций на плоскости Т, перпендикулярной плоскости V. Большая ось эллипса - отрезок АоВо @ A2B2, малая - отрезок CoDo @ d. Эллипс может быть построен по его большой и малой осям.

6.5. Пересечение конуса с плоскостью

В зависимости от направления секущей плоскости в сечении конуса вращения могут получиться различные линии, называемые вершину конуса, в его сечении получается пара прямых - образующие конуса ( рис 6.6, а). В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса, получается окружность (рис 6.6, б).

Если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса и не проходит через его вершину, в сечении конуса могут получиться парабола (рис.6.6. в), гипербола (рис.6.6, г) или эллипс (рис.6.6.д,е).

Если углы a (угол наклона образующей конуса к его оси) и b (угол наклона секущей плоскости к оси конуса) равны, т.е. секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, в сечении получается парабола (рис.6.6, в). В этом случае секущая плоскость a(av) пересекает все образующие, кроме одной, которой она параллельна.

Если секущая плоскость а (a v), направленная под углом к оси вращения конуса, пересечет его так, что угол b будет меньше угла a, то в сечении получится гипербола (рис.6.6.г). В этом случае секущая плоскость параллельна двум образующим конуса.

Эллипс получается в том случае, когда угол b между секущей плоскостью a (an) и осью вращения больше, чем угол a между осью вращения и образующей конуса (рис.6.6. д, е), т.е. когда плоскость пересекает все образующие конуса.

На рис.6.7 дано построение проекций линии сечения конуса фронтально - проецирующей плоскостью a, когда в сечении получается эллипс. На фронтальной плоскости проекций V фигура сечения - эллипс - изобразится в виде прямой А²В², совпадающей с фронтальной проекцией an секущей плоскости. Эта прямая будет большой осью эллипса. Малая ось эллипса перпендикулярна большой и проходит через ее середину. Отрезок А²В²делят пополам и получают фронтальную проекцию малой оси в виде точки C²D". Для нахождения горизонтальной проекции малой оси через нее проводят параллель, которая проецируется на горизонтальную

плоскость проекции окружностью радиуса О¢Т¢. Точки 1 и 1- сечения принадлежат профильным очерковым образующим конуса. Они отделяют видимую в профильной проекции часть l²¢-C²¢-A "'-D"'-1-'//

сечения от невидимой 1²¢²¢ -1-///.

Натуральная величина сечения AoBoCoDo построена способом замены плоскостей проекций на плоскости Т, перпендикулярной плоскости V. Большая ось эллипса - отрезок АоВо @ А2В2, малая - отрезок CoDo @ d. Наряду с построением эллипса по точкам возможно построение его по большой и малой осям.

Рис 6.6


Рис 6.7

6.6. Пересечение сферы с плоскостью

Любая плоскость пересекает сферу по окружности. Если секущая плоскость параллельна плоскости проекций, окружность сечения проецируется на эту плоскость проекций без искажения. Если секущая плоскость не параллельна ни одной из плоскостей проекций, проекциями окружности являются эллипсы.

На рис 6.8 изображена сфера, пересеченная фронтально - проецирующей плоскостью a(a² ), которая пересекает сферу по окружности диаметра АВ = А² В² с центром в точке O1 (проекция O1² точка пересечения av с перпендикуляром, опущенным из проекции О" центра сферы на плоскости a}. Горизонтальная и профильная

 

проекции этой окружности представляют собой эллипсы, длины больших осей которых С¢D¢ и C²¢ D'" равны величине диаметра окружности (А В''), малые оси эллипсов А¢В' и А¢² В'" получают проецированием.

Построение начинают с характерных точек. Точки А и В линии сечения принадлежат главному фронтальному меридиану, точки 2 и 2- находятся на экваторе сферы, точки 3 и 3- принадлежат главному профильному меридиану. Горизонтальные проекции А¢и B/ построены в проекционной связи на горизонтальной проекции главного фронтального меридиана по фронтальным проекциям  А В

Горизонтальные проекции 2¢ и 2¢-построены в проекционной связи на

горизонтальной проекции экватора. Проекции З'" и 3-¢²

  строят по фронтальной проекции. Горизонтальные проекции (C¢и D¢ построены с

помощью параллели KF радиуса О¢К¢ Горизонтальные проекции промежуточных точек 1 и 4 также построены с помощью параллелей. Профильные проекции точек построены  по горизонтальным и фронтальным проекциям соответствующих точек. На горизонтальной проекции часть эллипса невидима. Точки 2² и 2-² , отделяющие видимую часть эллипса от невидимой, находятся на экваторе. На профильной проекции видимость эллипса определяется с помощью проекций 3" и З- ", которые находятся на фронтальной проекции профильного очерка.

Если плоскость, пересекающая сферу, является плоскостью общего положения, то задачу решают способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций выбирают так, чтобы обеспечить перпендикулярность ее и секущей плоскости. Это позволяет упростить построение линии пересечения.

Циклоида (от греч. kykloeides - кругообразный) - плоская кривая, описываемая точкой окружности, которая без скольжения катится по прямой линии.

Заданы направляющая прямая CD и производящая окружность радиуса R с лежащей на ней точкой К, исходное положение которой Ко (рисунок 29). Проследим, какой путь пройдет точка К за один полный оборот окружности, катящейся по прямой CD. Это будет полный цикл кривой. Окружность за это время пройдет по прямой путь, равный длине развернутой окружности, т. е. L=2πR. Точка К после одного оборота окружности снова окажется на прямой CD в точке K8.

Для определения промежуточных положений точки К. через равные промежутки фиксируют положение этой точки. Для этого делят окружность на любое число равных частей, например, на восемь, получают точки 1...8 (рисунок 29), проводят из точки О линию центров, на которой отмечают восемь промежуточных положений центров (O1 O8) производящей окружности, разделив L=2πR на восемь равных частей.

Когда окружность пройдет 1/8 своего пути, точка К сместится вправо и вверх и окажется над направляющей прямой CD на такой же высоте, на которой находится точка 1. Поэтому для построения промежуточной точки К1 из точки 1 проводят прямую, параллельную CD, а из центра O1 описывают часть окружности в ее промежуточном положении радиусом R до пересечения с этой прямой.

Это и будет первое промежуточное положение точки К. Аналогично строят остальные точки. Соединив точки К0...K8 плавной тонкой линией от руки, получают циклоиду, которую обводят по лекалу.

Рисунок 29


на главную