Примеры задач по математике Основы расчета и проектирования деталей и узлов машин Начертательная геометрия Курс лекций и практических занатий по черчению Базовый курс по электротехнике

Начертательная геометрия

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Метрическими называются задачи, в которых приходится определять значения измеряемых величин - измерять величину угла между двумя прямыми и расстояние между двумя точками.

К метрическим относятся также задачи на построение угла и отрезка с наперед заданным соответственно градусной и линейной величины.

В основе алгоритма решения любой метрической задачи лежит свойство плоской фигуры, параллельной плоскости проекций: она (фигура) проецируется на эту плоскость в конгруентную фигуру;

ф½½аÞФа@Ф.

В задачах на построение проекций угла, равного 90°, используется теорема о частном случае проецирования прямого угла: прямой угол проецируется ортогонально без искажения, если одна из его сторон параллельна плоскости проекции, а вторая сторона не перпендикулярна к этой плоскости:

([АВ]^[ВС])Ç([АВ]½½a,[ВС]^a)Þ[АaВa]^[ВaСa]

Рис 7.1

При определении расстояния между двумя точками или построении отрезка заданной длины можно использовать как методы преобразования ортогональных проекций, так и пользоваться построением прямоугольного треугольника.

Отметим ряд свойств ортогональных проекций плоских углов (доказательства рассмотреть самостоятельно).

прямой. 1 Если стороны угла не параллельны плоскости проекции, то угол проецируется на эту плоскость с искажением.

2. Если хотя бы одна сторона тупого, прямого или острого угла параллельна плоскости проекции, то проекцией угла на эту плоскость будет угол с тем же названием, что и сам угол:

а) проекция острого угла будет меньше проецируемого угла;

б) прямой угол проецируется без искажения;

в) проекция тупого угла больше проецируемого угла,

3.Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекции, то на эту плоскость он проецируется без искажения.

4.Проекции острого и тупого углов могут проецироваться на плоскость без искажения не только при условии параллельности сторон угла плоскости проекции.

5. Если стороны угла параллельны плоскости проекции или одинаково наклонены к ней, то деление пополам проекции угла соответствует его делению пополам в пространстве.

Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона, параллельная плоскости проекции, равна прямому углу, то и проецируемый угол также

7.1 Определение действительной величины плоского угла но его ортогональным проекциям

Решение задачи сводится к перемещению плоскости общего положения, которой принадлежит угол, в положение, параллельное какой- либо плоскости проекции. Такое перемещение можно осуществить с помощью методов преобразования ортогональных проекций.

Наиболее рациональный путь решения задачи по переводу плоскости угла в положение, параллельное плоскости проекции, достигается путем вращения плоскости угла вокруг линии уровня.

В этом случае для получения ответа на поставленную задачу достаточно произвести поворот только одной точки вокруг горизонтали или фронтали плоскости угла.

При использовании других способов преобразования нам пришлось бы дважды менять плоскости проекции либо дважды осуществлять перемещение (вращение), параллельное плоскости проекции, т.е. в обоих случаях потребовалось построение двух вспомогательных проекций,

Приведенные ниже примеры иллюстрируют использование способа вращения вокруг линии уровня для решения задачи определения действительной величины плоского угла.

Пример 1: Определить угол между пересекающимися прямыми а и Ь.

Поворачиваем плоскость aÇ b)- вокруг ее горизонтали h в новое положение, параллельное горизонтальной плоскости. Точки А (А э а) и В (Вэ b) принадлежат оси вращения h (A, B)Ìh, поэтому при вращении плоскости а вокруг оси h они не изменяют своего положения.

Следовательно, для определения нового положения плоскости a1ïï Н достаточно осуществить поворот только одной точки К. Для этого проводим через К' прямую, перпендикулярную h¢ ( с этой прямой будет совпадать горизонтальная проекция окружности, по которой перемещается точка при ее вращении вокруг горизонтали). Далее определяем положение центра вращения 0 и величину радиуса вращения R для точки К. Положение точки К1¢ совместно с А¢ и В¢ определяют новые проекции a'1 и b1¢ (прямых а и b),

задающих плоскость a1ôô Н. Поэтому А¢ К' В' равен искомому углу j°

Пример 2, Определить величину углов треугольника АВС. Повернем плоскость треугольника АВС вокруг фронтали и этого треугольника в положение, параллельное плоскости V. Через вершину А треугольника АВС проводим фронталь u(uu'). Точки А и D, как принадлежащие оси вращения, не изменяет своего положения в процессе преобразования. Поэтому, как и в предыдущем примере, достаточно повернуть только одну точку.

На рис 7.3 в качестве такой точки взята вершина В треугольника АВС. Вершина треугольника С при вращении вокруг фронтали будет перемещаться по дуге окружности, плоскость которой перпендикулярна оси вращения u; поэтому фронтальная проекция этой окружности перпендикулярна u² и новое положение точки С1² определяется в точке пересечения этого перпендикуляра с новым положением (B1² D²). После такого поворота плоскость треугольника переведена в положение параллельное фронтальной плоскости V.

Следовательно, на основании свойства о проецировании плоской фигуры, параллельной плоскости проекции ( изложено в п.7) углы при вершинах А"В1² и C'1 проецируются в натуральную величину.

Рис.7.3.


7.2 Перпендикулярность прямых, прямой и плосксти. Перпендикулярность плоскостей

7.2.1 Взаимно перпендикулярные прямые.

Пример: Через точку А провести прямую m, перпендикулярную горизонтали h ( рис 7.4 ).

Так одна из сторон h прямого угла, параллельна плоскости H, то на эту плоскость спроецируется без искажения. Поэтому через А¢ проводим горизонтальную проекцию m¢^h'. Отмечаем точку M¢= m¢ Ç h. Затем находим М²(M"Îh² ), Точки М11 и А² определяют m².

Если вместо горизонтали будет задана фронталь и, то геометрические построения по проведению прямой mlu аналогичны только что рассмотренному случаю, с той лишь разницей, что построение неискаженной проекции прямого угла следует начинать с фронтальной проекции.

7.2.2.Взаимно перпендикулярные прямая и плоскость

Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, принадлежащим данной плоскости.

Если в плоскости взять не произвольные пересекающиеся прямые, а горизонталь и фронталь, то появляется возможность и в этом случае воспользоваться известной теоремой о проецировании прямого угла,

Пример 1. Восстановить в вершине А перпендикуляр AD к плоскости треугольника АВС (рис 7.5 ).

 Рис.7.5. Рис.7.6

Для того, чтобы определить направление проекций перпендикуляра, проводим проекции горизонтали h и фронтали u плоскости треугольника АВС. Затем в точке А¢ восставляем перпендикуляр к h¢, a в А¢' перпендикуляр к u¢¢,

Пример 2. Из точки А опустить перпендикуляр АВ на плоскость a заданную следами (рис 7.6 ).

Для решения этой задачи достаточно из А¢ провести горизонтальную проекцию A¢В¢^aH, а из А² - ее фронтальную проекцию A" В²^av.

7.2.3. Взаимно перпендикулярные плоскости

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости.

Поэтому построение плоскости a, перпендикулярной к плоскости b, можно осуществить двумя путями;

1. Проводим прямую m, перпендикулярную к плоскости b (или a), затем прямую m заключаем в плоскость a (или b).

2. Проводим прямую n, принадлежащую или параллельную плоскости b (или a), затем строим плоскость a (илиb), перпендикулярно к прямой n.

Так как через прямую m можно провести множество плоскостей (первый путь решения), то задача имеет множество решений. То же самое происходит и при решении по второму пути ( в плоскости или параллельно ей можно провести множество прямых n). Чтобы конкретизировать задачу, необходимо указать дополнительные условия.

Пример 1. Чрез данную прямую а провести плоскость a, перпендикулярную к плоскости b, заданной параллельными прямыми 1 и f (рис.7.7.).

Рис 7.7

1. Определяем направление проекций перпендикуляра к плоскости a. для этого находим горизонтальную проекцию горизонтали h' и фронтальную проекцию фронтали u²,

2. Из проекции произвольной точки Аеа проводим проекции перпендикуляра m'^h' и m²^u². Плоскость a^b, т.к m^b

Пример 2.Через данную точку А провести горизонтально проецирующую плоскость b, перпендикулярную к плоскости a, заданной следами (рис.7.8)

Искомая плоскость рдолжна проходить перпендикулярно к прямой, принадлежащей плоскости a В связи с тем, что плоскость b должна быть горизонтально проецирующей, то прямая, перпендикулярная к ней , должна быть параллельна плоскости H, т.е. являться горизонталью плоскости а или (что тоже самое) горизонтальным следом этой плоскости - aн. Поэтому через горизонтальную проекцию точки А¢ проводим горизонтальный след bн^aн, фронтальный след bv^оси X.

7.3. Определение действительной величины угля между прямой и плоскостью. Между двумя плоскостями

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость (прямая не перпендикулярна плоскости).

Пространственная геометрическая модель, иллюстрирующая это определение, показана на рис 7.9 .

План решения задачи может быть, записан:

1 .Из произвольной точки АÎa опускаем перпендикуляр на плоскость;

2. Определяем точку встречи этого перпендикуляра с плоскостью a(точка Аa ортогональная проекция точки А на плоскость a);

3.Находим точку пересечения прямой a с плоскостью а (точка Аa- след прямой а на плоскости a);

4.Проводим (А°Аa)- проекдию прямой а на плоскость a;

5.Определяем действительную величину ÐААaАa,т.е.Ðj0. Решение этой задачи может быть значительно упрощено, если определять не Ðj0между прямой и плоскостью, а дополнительный до 90° Ðg° В этом случае отпадает необходимость в определении точки Аa и

проекции аaЗная величину у0 , вычисляем— j0=90-g0.

Мерой угла между двумя плоскостями служит линейный угол, образованный двумя прямыми — сечениями граней этого угла плоскостью, перпендикулярной к их ребру.

Дня построения линейного угла, являющегося мерой двухгранного угла, необходимо выполнить следующие графические построения, показанные на рис 7.10 в определенной последовательности,

1. Определяем прямую n - линию пересечения данных плоскостей a и b (п= aÇb);

2. Проводим плоскость d^n (эта плоскость будет перпендикулярна также и к плоскостям aи b;

3. Определяем прямые a=dÇa и b=d Ç b;

4. Находим действительную величину j° между прямыми а и b

.Ðj 0- искомый угол

7.4.Паралельность прямых, прямой и плоскости.

Параллельность плоскостей.

7.4.1. Параллельные прямые.

Если в пространстве прямые параллельны, то их одноименные

проекции также параллельны между собой.

аôôbÞа¢÷÷ b¢; а²ôô b²; а²¢ôô b²¢

Причем, если в пространстве прямые а , b занимают общее положение относительно плоскостей проекций, то для выяснения по эпюру вопроса о параллельности прямых достаточно убедиться, будут ли параллельны между собой их одноименные проекции только на двух плоскостях.

Параллельность проекции на третьей плоскости в этом случае автоматы чески удовлетворяется.

Если прямые параллельны какой- либо плоскости (хотя бы плоскости W), то условие параллельности на третьей плоскости может не выполняться, В этом случае, для выяснения вопроса будут ли прямые параллельны в пространстве, условие параллельности их одноименных горизонтальных и фронтальных проекций будет необходимым, но недостаточным. Для получения ответа следует убедиться в параллельности их профильных проекций.

На рис 7.11 показаны два возможных варианта взаимного расположения прямых АВ и CD.

Рис 7.11


 

7.4.2.Параллельность прямой и плоскости

Прямая т параллельна плоскости a, если в плоскости a можно провести прямую п, параллельную т.

mïïa,если mïïn (nÎa)

Пример: Через заданную точку А провести плоскость a, параллельную данной прямой f ( рис 7.12).

Решение: 1. Через проекции точки А' и А¢' проводим проекции прямой а (а¢; а² ), соответственно параллельные одноименным проекциям f¢и f²;

2. Через проекции точки А(А¢; А²) в произвольном направлении проводим проекции прямой b( b1; b"),

Плоскость a проходит через точку А и параллельна прямой f, так как плоскость (аÎa и аïïf).

Рис.7.12

7.4.3.Параллельность плоскостей

Две плоскости параллельны, если две произвольные пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Пример: Провести через точку А плоскость b, параллельную данной плоскости a, заданной двумя параллельными прямыми а и b (рис 7.13).

На рис.7.13 плоскость b задана пересекающимися прямыми m Çn (m ïïaïïb; nïïl)

7.5.0пределение действительной величины отрезка по его ортогональным проекциям

Отрезок прямой проецируется в натуральную величину лишь в том случае, когда он параллелен плоскости, на которую он проецируется.

Во всех остальных случаях он проецируется на плоскость проекции с искажением.

Для установления зависимости между действительной величиной отрезка прямой и его проекциями рассмотрим рис 7.14

В прямоугольной трапеции ABB'А' (углы при вершинах А¢ и В' — прямые) боковыми стор ими являются действительная величина отрезка [АВ] и его горизонтальная проекция [А¢ В¢ ], а основаниями [АА¢] и [ВВ¢ ] по величине равные удалению концов отрезка А и В от горизонтальной плоскости Н.

½АА¢ô=Z (. )А;ôВВ¢ô=Z( . )В

Через точку А, в плоскости трапеции, проводим АВ¢1ôôА¢В¢, получим прямоугольный треугольник ABB¢1, у которого катет АВ¢1@¢В']. Поэтому геометрическая зависимость между действительной величиной отрезка и его горизонтальной проекцией может быть установлена с помощью прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен горизонтальной проекции А¢ В¢, а другой - разности аппликат котлов отрезкаô BB¢ô-ô АА¢ô Гипотенуза этого треугольника /АВ/ равна действительной величине.

Зависимость между действительной величиной отрезка и его фронтальной проекцией также видна на чертеже.

Для графического определения на эпюре Монжа действительной величины отрезка достаточно построить прямоугольный треугольник, взяв за один его катет горизонтальную^ ( фронтальную, профильную) проекцию отрезка, а за другой катет разность удаления концов отрезка от горизонтальной ( или соответственно фронтальной, профильной) плоскости проекции.

На (рис 7.15) показано определение действительной величины ôАВô путем построения треугольника А¢В¢Во. На этом же чертеже приведен второй вариант решения задачи: построение треугольника А'"В "Ао на базе фронтальной проекции отрезка.

100

С помощью прямоугольного треугольника можно решать задачу по построению на эпюре проекции отрезка на перед заданной

длины.

7.6.0пределение расстояния между точкой и прямой. Между двумя параллельными прямыми

Расстояние от точки до прямой определяется величиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на прямую:

Из чертежа видно (рис.7.16), что определение расстояния от точки до прямой достигается минимальным количеством геометрических построений;

  (m¢, m²) - фронталь: А"М² ^ m² Находим горизонтальную проекцию точки М - M', Методом прямоугольного треугольника определяем натуральную

 величину искомого расстояния AM,

Расстояние между параллельными прямыми определяется величиной перпендикуляра, опущенного из точки, взятой на одной прямой, на другую прямую.

На прямой n (рис.7.17) отмечаем произвольную точку N. Вращаем прямые тип вокруг оси i ^H(iÎN) до положения параллельного фронтальной плоскости проекций (n¢1n²1) и (m¢1m²1). Из точки N'' опускаем перпендикуляр N²M² на прямую m²1. Определяем действительную величину [MN].

Эвольвента окружности — плоская кривая линия, представляющая собой траекторию точки окружности при ее развертывании. Слово «эвольвента» — латинское, означает «развертываю­щий».

Заданную окружность делят на любое число равных дуг (в данном случае на восемь), полу­чают точки 1...8. Каждую точку деления соединяют с центром окружности (точка O). Из точки 8 проводят касательную к окружности и откладывают на ней длину окружности (2teR). Этот отре­зок будет развернутой окружностью. Точка 8 будет принадлежать эвольвенте. Затем полученный отрезок делят на восемь равных частей и получают отрезки, равные 1/8 длины окружности, для определения длины каждой развернутой дуги. Далее через точки 1...8 проводят касательные и откладывают отрезки, равные длине соответствующей дуги. От точки 1 откладывают отрезок, равный длине развернутой дуги О' 1'. От точки 2 — отрезок, равный длине развернутой дуги O'2' и т. д. Получают точки К1 ... К8, принадлежащие эвольвенте. Полученные точки соединяют плавной кривой линией, которую обводят по лекалу.

 


Рисунок 31


 


на главную