Примеры задач по математике Основы расчета и проектирования деталей и узлов машин Начертательная геометрия Курс лекций и практических занатий по черчению Базовый курс по электротехнике

Начертательная геометрия

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИХ РЕШЕНИЮ

З а д а ч а 1. Определить натуральную длину отрезка АВ(А1В1; А2В2) и углы его наклона к плоскостям проекций (рис.1, рис.2).

 

Рис. 1 Рис. 2

Р е ш е н и е . Строим прямоугольный треугольник по двум катетам (см. рис.1). За один катет принимаем фронтальную проекцию А2В2 отрезка АВ, за другой катет – отрезок, равный разности расстояний концов отрезка до плоскости П2. В0В2 = А1А1/. Угол β - угол наклона АВ к плоскости проекций П2.

Можно найти длину отрезка АВ, строя прямоугольный треугольник не на фронтальной проекции А2В2, а на горизонтальной проекции А1В1 (рис.2). Тогда вторым катетом будет разность расстояний концов отрезка до плоскости П1. В1В0 = В2В2/. Угол α - угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций П1.

З а д а ч а 2. На прямой l(l1, l2) от точки А(А1, А2) отложить отрезок длиной 30 мм (рис.3).

Р е ш е н и е . Выделяем на прямой l произвольный отрезок АМ и определяем его натуральную длину. Для этого строим прямоугольный треугольник по двум катетам А1М1 и М1М0 = М2М2/ .

На гипотенузе А1М0 построенного треугольника откладываем отрезок А1С0 = 30 мм. Опустив из точки С0 перпендикуляр на горизонтальную проекцию прямой, получаем горизонтальную проекцию А1С1 , а по ней и фронтальную А2С2 проекции искомого отрезка.

 Рис. 3

З а д а ч а 3. Через прямую l (l1, l2) (рис.11а) провести фронтально проецирующую плоскость ∆ (рис.4).

Рис. 4

 Р е ш е н и е . Признаком принадлежности прямой l фронтально проецирующей плоскости является принадлежность (совпадение) фронтальной проекции l2 , прямой  l с фронтальной проекцией ∆2 плоскости ∆ ,

т.е. если l Ì  ∆ Û l2 ≡ ∆2 (рис.4б).

З а д а ч а 4. Построить проекции линии пересечения двух плоскостей Г(АВС) и ∆  ( ∆ 2 ) (рис.5а).

Рис. 5

Р е ш е н и е. Плоскость ∆ ( ∆ 2) – фронтально проецирующая. Фронтальная проекция плоскости ∆ обладает собирательным свойством, поэтому фронтальная проекция N2M2 искомой линии пересечения совпадает с ∆ 2. Пользуясь условием, что искомая прямая MN принадлежит и плоскости Г (АВС), находим по фронтальной проекции её горизонтальную проекцию M1N1 (рис.5б).

З а д а ч а 5. Построить проекции точки пересечения прямой l (l1, l2) с плоскостью Г(АВС). Определить видимость прямой l (l1, l2) относительно плоскости Г (рис.6а).

Р е ш е н и е . Для решения задачи следует последовательно выполнить следующие три операции (рис.6б).

1-я операция. Через прямую l провести фронтально проецирующую плоскость ∆ (∆ 2 ) (см. задачу 3).

2-я операция. Построить проекции линии пересечения обеих плоскостей – данной Г и вспомогательной ∆, т.е. MN (M1N1; M2N2) (см. задачу 4).

3-я операция. В пересечении проекций данной прямой l и построенной MN отметить проекции (К1, К2) искомой точки.

Рис. 6

Найдя точку пересечения, перейти к определению видимости прямой l .

Для определения видимости прямой l на горизонтальной проекции (вид сверху) рассматриваем  две горизонтально конкурирующие точки 1 Î АВ и 2 Πl (11 ≡ 21). По фронтальной проекции видим, что точка 1 лежит по отношению к плоскости П1 выше, чем точка 2. Это значит, что сверху видимой является точка 1, а точка 2 закрыта ею. Следовательно, на виде сверху отрезок прямой l , на котором лежит точка 2, является невидимым. На фронтальной проекции видимость можно определить, например, при помощи фронтально конкурирующих точек N Î ВС и 3 Î  l . Сравниваем расстояние их по отношению к плоскости П2 . Сравнение показывает, что точка 3 прямой l , а следовательно, отрезок 3К, спереди не виден.

З а д а ч а 6. В плоскости Г (l ∩ m) провести горизонталь h (h1, h2) и фронталь  f ( f1; f2) (рис.7а).

Рис. 7

Р е ш е н и е . Известно, что фронтальная проекция h2 горизонтали h всегда параллельна оси XO. Поэтому построение горизонтали начинаем с проведения h2 ∥ XO (рис.7б). Горизонтальную проекцию находим из условия принадлежности горизонтали  h плоскости Г. Фронтальная проекция горизонтали пересекает фронтальные проекции данных прямых l2 и m2 в точках 12 и 22 , которым соответствуют горизонтальные проекции 11 и 21. Через них и пройдет горизонтальная проекция h1 искомой горизонтали  h . На (рис.7б) в плоскости Г построена и фронталь f (f1; f2). Это построение выполнено аналогично построению горизонтали.

З а д а ч а 7. Даны плоскость  Г (l ‌ || ‌ m) и точка D(D1; D2).

Опустить перпендикуляр из точки на эту плоскость (рис.8).

Известно, что если прямая перпендикулярна плоскости, необходимо, чтобы горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали плоскости.

Р е ш е н и е . Проводим горизонталь h (h1; h2 ) и фронталь f ( f1; f2) (см. задачу 6). Затем проводим проекции перпендикуляра: горизонтальную  n1 – через D1 перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h1 , и фронтальную  n2 – через D2 перпендикулярно проекции фронтали f2 .

Рис. 8

Сечение геометрических тел плоскостями.

Сечение призмы плоскостью.

Даны три проекции прямой треугольной призмы и фронтальная проекция b2 фронтально -проецирующей плоскости b, пересекающие призму на рисунке 10. Требуется построить проекции линии контура фигуры сечения, найти натуральною величину фигуры сечения; построить развертку поверхности усеченной призмы; построить стандартную изометрическую проекцию усечённой призмы.

Основание призмы  расположено в плоскости П1, поэтому ребра и грани призмы перпендикулярны плоскости П2.

Профильная проекция D3E3F3 строится обычно, как третья по двум, при этом заметим, что сторона EF фигуры сечения закрыта двумя боковыми гранями призмы поэтому ее проекция E3F3 изобразится штриховой линией.

Натуральную величину фигуры сечения найдём способом перемены плоскостей проекций. Вводим новую плоскость П4 так, чтобы она была параллельна фронтально проецирующей плоскости b. Проводят новую ось проекции S24 параллельно проекции b2 секущей плоскости b. На новой плоскости П4 строят новую проекцию D4Е4F4 фигуры сечения, она будет равна натуральной величине фигуры сечения, она будет равна натуральной величине фигуры сечения.

Построение развертки поверхности усечённой призмы.

В данном случае, необходимые для построения развертки натуральные размеры боковых ребер, сторон оснований, частей рассеченных ребер и фигуры сечения, выявлены на соответствующих проекциях и не требуют дополнительных построений.

Сначало строят развертку боковой поверхности призмы. Затем на соответствующих боковых ребрах откладывают размеры проекций нижних частей ребер D2A2, E2b2, F2C2. Соединят последовательно прямыми точками D0 Е0 F0 и D0 получают ломаную линию, по которой плоскость b расcекает призму на две части

Для получения развертки поверхности усеченной призмы к соответствующим сторонам боковых граней пристраивают нижнее основание и фигуру сечения. Построение стандартной изометрической проекции усеченной призмы Строим изометрическую проекцию данной призмы. На соответствующих боковых ребрах откладываем от вершин нижнего основания части ребер D2A2 Е2В2 F2C2 полученные точки D, E, F, D последовательно соединяем поримыми. Определяем видимые ребра и обводим их соответствующими линиями.


 


на главную