Примеры задач по математике Основы расчета и проектирования деталей и узлов машин Начертательная геометрия Курс лекций и практических занатий по черчению Базовый курс по электротехнике

Начертательная геометрия

Принадлежность прямой и точки заданной плоскости

Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости. Прямая MN (рис.3.2,а) расположена в плоскости Р, заданной следами, поскольку две точки прямой М и N(горизонтальный и фронтальный её следы) принадлежат плоскости, т.е. расположены на её следах. Прямая 1-2 (рис.3.2, б) принадлежит плоскости, заданной параллельными прямыми, поскольку имеет с ней две общие точки. Построение прямоугольников Эта фигура строится по двум диагонально расположенным точкам прямоугольника

Рис. 3.2

Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, принадлежащей данной плоскости. Для того, чтобы построить в плоскости точку (рис. 3.2), необходимо провести в плоскости прямую, принадлежащую плоскости, а затем задать на ней точку Е, которая принадлежит прямой и, следовательно, и плоскости.

3.4 Плоскости общего и частного положения

Различают частные и общие случаи расположения плоскости в пространстве относительно плоскостей проекций.

Плоскость общего положения. Плоскость, произвольно расположенная по отношению к плоскостям проекций, называется плоскостью общего положения (рис. 3.1).

Проекции элементов, которыми задана такая плоскость (точки, прямые, следы плоскости, плоские фигуры), составляют случайные углы с линиями связи и осями проекций комплексного чертежа, т.е. располагаются произвольно и ни в одной проекции на вырождаются в более простой геометрический образ.

Плоскости, перпендикулярные одной или двум плоскостям проекций называются плоскостями частного положения.

Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций называется проецирующей плоскостью. Проецирующая плоскость, перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций называется горизонтально-проецирующей, к фронтальной – фронтально-проецирующей, к профильной – профильно-проецирующей.

В прямоугольных проекциях плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций, параллельна направлению проецирования и поэтому является проецирующей. Её проекция на этой плоскости вырождается в прямую; проекция на другую плоскость является неограниченным полем точек.

Горизонтально-проецирующая плоскость. Фронтальной проекцией плоскости РП1 является неограниченное поле точек (табл. 3.2, п.1), горизонтальной – прямая Р1. Горизонтальная проекция любой линии (точки, фигуры), лежащей в горизонтально-проецирующей плоскости, располагается на выродившейся в прямую горизонтальной проекции этой плоскости.

Фронтально-проецирующая плоскость. Горизонтальная проекция плоскости РП2 представляет собой неограниченное поле точек (табл. 3.2, п.2), фронтальная проекция Р2 вырождается в прямую. Фронтальная проекция любой точки, линии или фигуры, лежащих во фронтально-проецирующей плоскости, располагаются на выродившейся в прямую фронтальной проекции этой плоскости.

Профильно-проецирующая плоскость. Профильная проекция плоскости РП3, вырождается в прямую (табл. 3.2., п.3). Проекциями на плоскость П1 и П2 являются неограниченные поля точек. Профильная проекция любой линии (точки, фигуры), лежащей в профильно-проецирующей плоскости, располагается на выродившейся в прямую профильной проекции этой плоскости. Из рисунков в таблице 3.2. видно, что один след проецирующей плоскости (так называемый след-проекция) совпадает с выродившейся в прямую проекцией плоскости, а другой- перпендикулярен к оси проекций.

Задание на комплексном чертеже проецирующих плоскостей следами изображено в таблице 3.2. и не нуждается в пояснениях (сопоставьте изображения каждой проецирующей плоскости в таблице).

Заметим, что угол между следом-проекцией и осью проекции равен углу наклона проецирующей плоскости к плоскости проекций.

На комплексном чертеже проецирующие плоскости чаще изображаются не следами, а своей проекцией, выродившейся в прямую. Вторая проекция, представляющая поле точек, безгранична и обычно не изображается и не обозначается.

Таблица 3.2 Положение плоскости относительно плоскости проекций.

Положение плоскости в пространстве

Наглядное изображение

Эпюр

Положение следов плоскости

1

Перпендикулярна плоскости П1 – горизонтально-проецирующая плоскость

Р1 – произвольно Р2 – перпендикулярно к оси X

Р3 – перпендикулярно к оси Y

2

Перпендикулярна к плоскости П2 – фронтально-проецирующая плоскость

Р1 – перпендикулярно к оси X

Р2 – произвольно

Р3 – перпендикулярно к оси Z

3

Перпендикулярна к плоскости П3 – профильно-проецирующая плоскость

Р1 и Р2 – параллельны к оси X

Р3 - произвольно

4

Параллельна плоскости П1 – горизонтальная плоскость

Р1 – отсутствует

Р2 – параллельно оси X

Р3 – параллельно оси Y

5

Параллельна плоскости П2 – фронтальная плоскость

Р1 – параллельно оси X

Р2 – отсутствует

Р3 – параллельно оси Z

6

Параллельна плоскости П3 – профильная плоскость

Р1 и Р2 – перпендикулярно к оси X

Р3 - отсутствует

Плоскость, параллельная плоскости проекций называется плоскостью уровня. Такая плоскость перпендикулярна к двум другим плоскостям проекций и, следовательно, по отношению к ним является проецирующей и проецируется на них в прямую линию. Плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций называется горизонтальной, параллельная фронтальной – фронтальной и параллельная профильной – профильной плоскостью уровня.

В таблице 3.2. п. 4, 5, 6 изображены плоскости параллельные плоскостям проекций – плоскости уровня. Здесь же даны изображения этих плоскостей на комплексном чертеже.

Плоскости уровня не имеют следа на параллельной себе плоскости проекций и проецируются на неё в неограниченные поля точек (эти проекции на комплексном чертеже не обозначаются и не ограничиваются).

Итак, положение плоскостей уровня подчинено общему правилу: если плоскость параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется в поле точек. Её проекция на другой плоскости – прямая, перпендикулярная к линии связи.

Параллельные проекции

Параллельные проекции рассматривается как частный случай центральных проекций, при котором центр проекций удален в бесконечность . Для проведения параллельных проецирующих прямых указывается некоторое направление проецирования относительно плоскости проекций. Построенные таким образом проекции называются параллельными.

Для параллельного проецирования параллельные проекции взаимно параллельных прямых параллельны, а отношения длин отрезков таких прямых равно отношению длин их проекций (рис.1.5). Если прямая параллельна направлению проецирования, то ее проекцией является точка. Отрезок прямой линии, параллельной плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в натуральную величину (рис.1.7). Отрезки прямых, не параллельных плоскости проекций, не равны своим проекциям (рис.1.8). Это справедливо и для плоских фигур.

Параллельные проекции, как и центральные проекции, при одном центре проекций не обеспечивают обратимости чертежа (см. рис.1.6). При параллельном проецировании нарушаются метрические характеристики геометрических фигур (происходит искажение линейных и угловых величин).

Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. В первом случае направление проецирования составляет с плоскостью проекций угол не равный 90º, во втором случае проецирующие прямые перпендикулярны плоскости проекций.


на главную